جذور معادلة متعددة الحدود (مسألة رياضيات)

المعادلة متعددة الحدود $x^3 + bx + c = 0$، حيث $b$ و $c$ أعداد كسرية، لديها $3-\sqrt{7}$ كجذر. بالإضافة إلى ذلك، لديها جذرًا صحيحًا. ما هو؟

لنبدأ بتقديم المعادلة مرة أخرى بشكل مفصل:

$x^3 + bx + c = 0$

لدينا معلومة مهمة هي أن $3-\sqrt{7}$ هو جذر لهذه المعادلة.

لو نقوم بتطبيق معادلة فييتا، نجد ما يلي:

المجموع الجبري للجذور:
$x_1 + x_2 + x_3 = 0$

حيث $x_1$, $x_2$, و $x_3$ هي الجذور الثلاث للمعادلة.

ومن المعروف أن $x_1 = 3 – \sqrt{7}$، لذا يمكننا استنتاج:

$x_2 + x_3 = -x_1 = – (3 – \sqrt{7}) = -3 + \sqrt{7}$

والمنتج الجبري للجذور:
$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{c}{1} = -c$

من خلال استخدام الجذر الموجود وقيم $x_1$ و $x_2$ المستنتجة، يمكننا حساب قيمة $x_3$ عن طريق الجمع:

$x_2 + x_3 = -3 + \sqrt{7}$

لذا $x_3 = (-3 + \sqrt{7}) – x_2$.

الآن، علينا أن نعرف أن المعادلة لديها جذرًا صحيحًا، وبما أن جميع معاملاتها كسرية، فإن جذرها الصحيح يجب أن يكون عبارة عن عدد صحيح.

سنحتاج إلى استخدام حقيقة أن جميع المعاملات في المعادلة $x^3 + bx + c = 0$ هي أعداد كسرية.

عندما نضع الجذر الصحيح في المعادلة، يجب أن يكون باقي المعادلة صحيحًا أيضًا.

الجذر الصحيح الذي نبحث عنه، سنرمز له بـ $m$.

بما أننا نعرف أن $3-\sqrt{7}$ هو جذر، يجب أن يكون $3+\sqrt{7}$ أيضًا جذرًا للمعادلة، بناءً على خاصية الأعداد المركبة.

إذاً، إذا قمنا بضرب الجذرين معًا، يجب أن نحصل على $x^2 – 7 = 0$ بالاستفادة من خاصية فارق المربعين. فلنقم بذلك:

$(x – (3 – \sqrt{7}))(x – (3 + \sqrt{7})) = 0$

بعد الضرب، سيكون الناتج كالتالي:

$x^2 – (3 – \sqrt{7} + 3 + \sqrt{7})x + (3 – \sqrt{7})(3 + \sqrt{7}) = 0$

وبسيطة الحساب، ستكون النتيجة:

$x^2 – 6x + (3^2 – (\sqrt{7})^2) = 0$
$x^2 – 6x + (9 – 7) = 0$
$x^2 – 6x + 2 = 0$

هذه المعادلة الثانوية قد تحل بسهولة باستخدام الصيغة العامة للجذر التربيعي:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$, $b = -6$, و $c = 2$.

بعد حساب القيم، سنجد أن الجذور هي:

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$
$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 – 8}}{2}$
$x = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2}$
$x = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2}$
$x = 3 \pm \sqrt{7}$

ومن المعطيات، الجذر $3 – \sqrt{7}$ هو جذر للمعادلة، لذا فإن $3 + \sqrt{7}$ يكون الجذر الثاني للمعادلة.

بالتالي، يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:

$(x – (3 – \sqrt{7}))(x – (3 + \sqrt{7}))(x – m) = 0$

الآن نحن بحاجة إلى فتح المعادلة ومقارنتها مع المعادلة الأصلية $x^3 + bx + c = 0$ للعثور على ال

لحل المسألة بشكل مفصّل، سنقوم بتطبيق العديد من القوانين والمفاهيم الرياضية. سنقوم بذلك على النحو التالي:

1. المعادلات التربيعية ومضاعفاتها: نستخدم خاصية المضاعفات للعثور على الجذور المتبقية في المعادلة.

2. معادلات فييتا: نستخدم معادلات فييتا للعلاقات بين جذور المعادلة ومعاملاتها.

3. خواص الأعداد: نستفيد من خواص الأعداد المركبة والتربيعية لتحليل العلاقات بين الجذور.

4. الحساب الجبري: نستخدم الحساب الجبري لحساب قيم المتغيرات وتبسيط المعادلات.

لنبدأ بتطبيق هذه القوانين:

المعادلة الأصلية:
$x^3 + bx + c = 0$

نعلم أن $3-\sqrt{7}$ هو جذر للمعادلة. لذا، يكون $3+\sqrt{7}$ أيضًا جذرًا.

باستخدام خاصية المضاعفات للمعادلات التربيعية، نقوم بضرب الجذرين معًا للحصول على معادلة ثانوية:

$(x – (3 – \sqrt{7}))(x – (3 + \sqrt{7})) = 0$

بفتح هذه المعادلة، نحصل على:

$x^2 – (3 – \sqrt{7} + 3 + \sqrt{7})x + (3 – \sqrt{7})(3 + \sqrt{7}) = 0$
$x^2 – 6x + (3^2 – (\sqrt{7})^2) = 0$
$x^2 – 6x + (9 – 7) = 0$
$x^2 – 6x + 2 = 0$

تمامًا كما تم توضيحه في الحل السابق.

الآن، نحتاج إلى جذر ثالث للمعادلة. لتحديد هذا الجذر، نستخدم حقيقة أن المعادلة تحتوي على جذر صحيح بالإضافة إلى الجذر الذي تم تقديمه.

نحن بحاجة إلى جذر ثالث يكون عددًا صحيحًا. للعثور عليه، سنقوم بالعمليات التالية:

1. نجمع الجذور المعروفة:
   $3 – \sqrt{7}$
   $3 + \sqrt{7}$

2. نستخدم الخاصية الأساسية لجذور المعادلات لمحاولة العثور على جذر ثالث. يجب أن يكون هذا الجذر مجموعة متعددات الجذور المعروفة والجذور الصحيحة.

بالنظر إلى المعادلة:
$x^3 + bx + c = 0$

نحتاج إلى جذر يكون عددًا صحيحًا. لذا، يجب أن يكون مجموع الجذور المعروفة مجموعة متعددات عدد صحيح.

نستخدم هذه المعلومات لتحديد الجذر الثالث. نجمع الجذور المعروفة معًا:

$3 – \sqrt{7} + 3 + \sqrt{7} = 6$

يمكن أن يكون جذر المعادلة الثالث هو 6.

لذا، نكتب المعادلة بالشكل النهائي:

$(x – (3 – \sqrt{7}))(x – (3 + \sqrt{7}))(x – 6) = 0$

بعد ذلك، يمكن حل المعادلة للعثور على القيم المحتملة للمتغير $x$، والتي تشمل الجذر الصحيح $6$.