حل مسألة: سلسلة هندسية والقيمة المجهولة (مسألة رياضيات)

تتبع المسألة الرياضية المعطاة لسلسلة هندسية، حيث العناصر الأولى الثلاثة في التسلسل هي 140، $a$، و $\frac{45}{28}$ على التوالي. يُطلب منا إيجاد قيمة $a$ في حالة أن $a$ إيجابية.

لنبدأ بتحديد قاعدة السلسلة الهندسية. في السلسلة الهندسية، تتباين العناصر بنسبة ثابتة. لذا، نستخدم العلاقة التالية للعثور على النسبة الثابتة $r$:

$r = \frac{{\text{{العنصر الثاني}}}}{{\text{{العنصر الأول}}}} = \frac{{\text{{العنصر الثالث}}}}{{\text{{العنصر الثاني}}}}$

نحتاج أولاً إلى إيجاد قيمة $r$. لدينا:

$r = \frac{a}{140} = \frac{\frac{45}{28}}{a}$

لحل هذه المعادلة، نقوم بضرب كلا الطرفين في $140a$ للتخلص من المقامات:

$a^2 = \frac{45}{28} \times 140$

$a^2 = 225$

$a = \sqrt{225}$

هنا، نعلم أن $a$ إيجابية، لذا $a = 15$ هي القيمة المطلوبة.

لحل المسألة، سنستخدم خصائص السلاسل الهندسية والعلاقات بين أعضائها. السلسلة الهندسية هي سلسلة من الأعداد حيث يتم ضرب كل عنصر في العنصر السابق بنسبة ثابتة تسمى النسبة الهندسية.

القوانين المستخدمة:

1. في سلسلة هندسية، نسبة أي عنصرين متتاليين هي ثابتة.
2. العنصر الثاني في السلسلة هو العنصر الأول مضروبًا في النسبة الهندسية.
3. العنصر الثالث هو العنصر الثاني مضروبًا في النسبة الهندسية.

الآن، دعنا نحل المسألة:
نعطى العناصر الأولى الثلاثة في السلسلة: 140، $a$، $\frac{45}{28}$ على التوالي.

لحساب النسبة الهندسية $r$، نستخدم العلاقة:

$r = \frac{{\text{{العنصر الثاني}}}}{{\text{{العنصر الأول}}}} = \frac{{\text{{العنصر الثالث}}}}{{\text{{العنصر الثاني}}}}$

بالتالي:

$r = \frac{a}{140} = \frac{\frac{45}{28}}{a}$

لتجنب الكسور، نضرب في المقام والبسط في كل جانب من المعادلة بالعنصر الأول والثاني:

$a^2 = \frac{45}{28} \times 140$

$a^2 = 225$

$a = \sqrt{225} = 15$

نعلم أن $a$ إيجابية، لذا القيمة المقبولة لـ $a$ هي 15.

بهذا، تم حل المسألة وتحديد قيمة $a$ وهي 15، والتي تلبي الشرط المطلوب في المسألة.