حلاقظ: حساب الدالة الرياضية باستخدام القوانين (مسألة رياضيات)

نعتبر الدالة $f(x)$ التي ترتبط بالشروط التالية:

$f(1) = X$

و

$f(x + y) = 3^y f(x) + 2^x f(y)$

لجميع الأعداد الحقيقية $x$ و $y$. نريد حساب الدالة $f(x)$.

الحلاقظ إذا كنا نعلم أن الحلا للمسألة هو $f(x) = 3^x – 2^x$، نقوم بوضع هذه القيمة في المعادلة الأولى للحصول على قيمة متغير $X$:

$f(1) = 3^1 – 2^1 = 3 – 2 = 1$

إذا كان لدينا الدالة $f(x) = 3^x – 2^x$، فإن القيمة المجهولة $X$ هي 1.

لذلك، إذا كانت الإجابة على المسألة الرياضية المعطاة هي $f(x) = 3^x – 2^x$، فإن قيمة المتغير المجهول $X$ هي 1.

لحل المسألة المعطاة، سنقوم بتحديد الدالة $f(x)$ باستخدام الشروط المعطاة في السؤال:

الشرط الأول:
$f(1) = X$

والشرط الثاني:
$f(x + y) = 3^y f(x) + 2^x f(y)$

لنحسب الدالة $f(x)$ باستخدام هذين الشرطين.

للبداية، لنستخدم الشرط الأول:
$f(1) = 3^1 – 2^1 = 3 – 2 = 1$
إذا كانت القيمة المجهولة $X$ هي 1.

الآن، لنستخدم الشرط الثاني:
$f(x + y) = 3^y f(x) + 2^x f(y)$

سنقوم بتحليل الشرط الثاني باستخدام الدالة المعطاة $f(x) = 3^x – 2^x$. لنبدأ بحساب الجانب الأيمن:
$3^y f(x) + 2^x f(y) = 3^y (3^x – 2^x) + 2^x (3^y – 2^y)$

لدينا الآن تعبير للجانب الأيمن. الآن، سنقوم بمقارنة هذا مع الجانب الأيسر $f(x + y)$ الذي هو $f(x + y) = 3^{x+y} – 2^{x+y}$.

نقوم بمقارنة الطرفين:
$3^{x+y} – 2^{x+y} \stackrel{?}{=} 3^y (3^x – 2^x) + 2^x (3^y – 2^y)$

نقوم بفتح الأقواس وتبسيط الجهة اليمنى للتأكد من تساويها للجهة اليسرى.

باستخدام قوانين الأسس والجداء والتبسيط، نستنتج أن الدالة $f(x) = 3^x – 2^x$ هي الحلاقظ للشروط المعطاة.

تمثل هذه القوانين:

1. قانون الأسس:
   $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$
   يتمثل هذا القانون في تجزئة الأس في حالة وجود جمع في الأس.

2. قانون الجداء:
   $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$
   يتمثل هذا القانون في تقسيم الأس في حالة وجود طرح في الأس.

3. قانون التوزيع:
   $a(b + c) = ab + ac$
   يتمثل هذا القانون في توزيع العدد $a$ على حاصل جمع $b + c$.