حساب ميل الخطوط: مشتقات جزئية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
نريد حساب ميل الخط الذي يتكون من أي نقطتين على الدائرة المعرفة بالمعادلة: $\frac{2}{x}+\frac{3}{y} = 0$

الحل:
للعثور على الميل، نحتاج إلى حساب المشتقة الجزئية للمعادلة بالنسبة للمتغيرات $x$ و $y$، ثم نستخدم تلك المشتقات لحساب الميل.

لذلك، نبدأ بحساب المشتقة الجزئية بالنسبة لكل من $x$ و $y$:
للحصول على المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $x$، نستخدم قاعدة قوة الأس:

للحصول على المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $y$، نستخدم قاعدة قوة الأس:

الآن، لحساب الميل، نستخدم صيغة الميل:

نقوم بتعويض قيم المشتقات الجزئية في الصيغة:

وهذا هو الميل للخط الذي يمر بأي نقطتين على الدائرة المعطاة.

في هذه المسألة، نريد حساب الميل للخط الذي يمر بنقطتين على الدائرة المعرفة بالمعادلة $\frac{2}{x}+\frac{3}{y} = 0$.

لحساب الميل، نحتاج إلى استخدام مفهوم المشتقات الجزئية وصيغة الميل للخط. هنا الخطوات بالتفصيل:

1. المشتقات الجزئية:

   • المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $x$: نستخدم قاعدة قوة الأس وقاعدة المشتقة لقوة الأس للحصول على $\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x}\right) = -\frac{2}{x^2}$.
   • المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $y$: نستخدم قاعدة قوة الأس وقاعدة المشتقة لقوة الأس للحصول على $\frac{d}{dy}\left(\frac{3}{y}\right) = -\frac{3}{y^2}$.

2. صيغة الميل:

   • الميل هو نسبة المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $y$ إلى المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $x$، وهو يمثل تغير الـ $y$ بالنسبة لتغير الـ $x$ على الخط.
   • صيغة الميل هي: $\text{ميل} = -\frac{\text{مشتقة جزئية بالنسبة لـ} x}{\text{مشتقة جزئية بالنسبة لـ} y}$.

3. تطبيق الصيغة:

   • نقوم بتعويض قيم المشتقات الجزئية في الصيغة للحصول على قيمة الميل.
   • نستخدم $\text{ميل} = -\frac{-\frac{2}{x^2}}{-\frac{3}{y^2}}$.
   • نبسط العبارة للحصول على $\text{ميل} = -\frac{2y^2}{3x^2}$.

هذه الخطوات تعتمد على قواعد الجبر والتفاضل والتكامل. وهي تستخدم لحل مسائل الرياضيات التفاضلية بشكل عام. الأساس في الحل هو فهم كيفية حساب المشتقات وتطبيقها في مواقف مختلفة، بالإضافة إلى فهم صيغة الميل وكيفية استخدامها لحساب الميل للخطوط في المستوى.