حساب لوغاريتم قاعدة الكسرية (مسألة رياضيات)

قيمة $\log_\frac{1}{3}9$ هي العدد الذي يجب رفع الأساس $\frac{1}{3}$ إليه للحصول على الناتج 9. بمعنى آخر، نبحث عن العدد $x$ الذي ينطبق عليه المعادلة التالية:

لحل هذه المعادلة، نستخدم الخاصية التالية للأسس: إذا كانت القيم متساوية، فإن الأسس أيضًا متساوية. بناءً على ذلك، يجب أن يكون الأس $x$ يساوي القيمة التي تجعل التعبير $\left(\frac{1}{3}\right)^x$ يساوي 9.

لنبدأ بتحويل 9 إلى قاعدة $\frac{1}{3}$، وهذا يتطلب تحويل 9 إلى تركيبة أسية بقاعدة $\frac{1}{3}$. نعرف أن $9 = 3^2$، لذا:

الآن، يمكننا تحويل 9 إلى قاعدة $\frac{1}{3}$ باستخدام الخاصية المعاكسة للأس والقاعدة، وهي تبادل الأس والقاعدة. إذاً:

وبالتالي، المعادلة تصبح:

باستخدام الخاصية التي تفيد أنه إذا كانت الأسس متساوية، فإن الأساس يكون متساويًا أيضًا، يمكننا مطابقة الأساسات وحل المعادلة كالتالي:

إذاً، قيمة $\log_\frac{1}{3}9$ هي $-2$.

لحل مسألة $\log_{\frac{1}{3}}9$، نحتاج إلى فهم مفهوم اللوغاريتمات والخواص المتعلقة بها. اللوغاريتم هو عملية تعكس عملية الأس، حيث يُعرف $\log_b a$ بأنه العدد الذي يجب رفع القاعدة $b$ إليه للحصول على الناتج $a$.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. خاصية اللوغاريتمات: إذا كان $\log_b a = c$، فإن $b^c = a$.
2. قاعدة التبديل للأس واللوغاريتمات: إذا كان $\log_b a = c$، فإن $b^c = a$ و $a = \log_b c$.
3. قوة الأس لسالب: $a^{-b} = \frac{1}{a^b}$.

الآن، لحل المسألة:

نريد حساب $\log_{\frac{1}{3}}9$. هذا يعني أننا نبحث عن العدد $x$ الذي إذا رفعنا $\frac{1}{3}$ إلى القوة $x$ سنحصل على 9.

يمكن تفسير العملية بأننا نقوم بتحويل العدد 9 إلى قاعدة $\frac{1}{3}$، لأننا نعلم أن 9 تساوي $3^2$، لذا:

$9 = 3^2$

ومن ثم، بما أننا نريد تحويل القيمة إلى قاعدة $\frac{1}{3}$، فنقوم بتطبيق قوة الأس لسالب:

$9 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$

الآن، نستخدم قوانين اللوغاريتمات لمطابقة الأساسات وحل المعادلة:

$\left(\frac{1}{3}\right)^x = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$

وبما أن الأساسات متساوية، فإن الأس يجب أن يكون متساويًا أيضًا، لذا:

$x = -2$

لذا، قيمة $\log_{\frac{1}{3}}9$ هي $-2$.