مسائل رياضيات

تمثيل الأعداد المعقدة بالشكل المستطيلي (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 07/02/2024
0

نريد حساب ناتج رفع $(2 \cos 20^\circ + 2i \sin 20^\circ)$ إلى القوة 6 بالشكل المستطيلي.

لنبدأ بتمثيل العدد المعقد $2 \cos 20^\circ + 2i \sin 20^\circ$ بشكل مستطيلي. نستخدم هنا المعادلات التالية:

مواضيع ذات صلة
cos⁡θ=eiθ+e−iθ2وsin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad \text{و} \quad \sin \theta = \frac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2i}

حيث $e^{i\theta}$ يمثل العدد العقدي الموجب، و $i$ هو العدد الخيالي، و $\theta$ هو الزاوية بالراديان.

بالتالي، يمكننا كتابة $2 \cos 20^\circ + 2i \sin 20^\circ$ بالشكل المستطيلي كالتالي:

2(ei20∘+e−i20∘2)+2i(ei20∘−e−i20∘2i)2 \left(\frac{e^{i20^\circ} + e^{-i20^\circ}}{2}\right) + 2i \left(\frac{e^{i20^\circ} – e^{-i20^\circ}}{2i}\right)

الآن نقوم بتبسيط التعبير، ونحصل على:

2ei20∘+2e−i20∘+2ei20∘−2e−i20∘2e^{i20^\circ} + 2e^{-i20^\circ} + 2e^{i20^\circ} – 2e^{-i20^\circ}
=4ei20∘−4e−i20∘= 4e^{i20^\circ} – 4e^{-i20^\circ}
=4(ei20∘−e−i20∘)= 4(e^{i20^\circ} – e^{-i20^\circ})

الآن، نريد حساب هذا العدد المعقد المستطيلي مرفوعاً إلى القوة 6.

لحساب ذلك، نستخدم القاعدة التالية: $(a + bi)^n = r^n (\cos (n\theta) + i \sin (n\theta))$

حيث $r$ هو القيمة المطلقة للعدد المعقد $a + bi$ و $\theta$ هو الزاوية المحسوبة من العدد المعقد $a + bi$.

في حالتنا، $r = 4$ و $\theta = 20^\circ$، لذا نحسب $r^n$ و $\theta$ بالتتابع.

rn=46=4096r^n = 4^6 = 4096

و

nθ=6×20∘=120∘n\theta = 6 \times 20^\circ = 120^\circ

الآن، نستخدم القيم المحسوبة لنحسب الجزء الزاوي والجزء الواقعي من الناتج.

cos⁡120∘=−12وsin⁡120∘=32\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \quad \text{و} \quad \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

وبالتالي، الجزء الواقعي هو:

4096×(−12)=−20484096 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -2048

والجزء الزاوي هو:

4096×32=204834096 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2048\sqrt{3}

إذاً، الناتج المستطيلي لرفع $(2 \cos 20^\circ + 2i \sin 20^\circ)$ إلى القوة 6 هو $-2048 + 2048\sqrt{3}i$.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة، بدأنا بتمثيل العدد المعقد $2 \cos 20^\circ + 2i \sin 20^\circ$ بشكل مستطيلي باستخدام المعادلات التالية:

cos⁡θ=eiθ+e−iθ2وsin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad \text{و} \quad \sin \theta = \frac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2i}

حيث استخدمنا تمثيل الأعداد المعقدة في شكل القوى العشرية باستخدام العدد الخيالي $i$ والعدد الحقيقي. وهذه المعادلات تعبر عن العلاقة بين الدوال الهامة $\sin$ و $\cos$ والأعداد المعقدة.

من ثم، بعد استبدال $\cos 20^\circ$ و $\sin 20^\circ$ بالتعبيرات الموجودة، قمنا بتبسيط التعبير للحصول على الشكل المستطيلي للعدد المعقد:

4(ei20∘−e−i20∘)4(e^{i20^\circ} – e^{-i20^\circ})

وباستخدام قاعدة رفع العدد المعقد إلى قوة $n$:

(a+bi)n=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))(a + bi)^n = r^n (\cos (n\theta) + i \sin (n\theta))

حيث $r$ هو القيمة المطلقة للعدد المعقد $a + bi$ و $\theta$ هو الزاوية المحسوبة من العدد المعقد $a + bi$، قمنا بتحويل العدد المعقد المستطيلي إلى الشكل الجبري المطلوب.

بعد ذلك، حسبنا قيمة $r^n$ و $n\theta$ للعدد المعقد، ومن ثم استخدمنا الدوال المثلثية لحساب القيم المطلوبة من الجزء الحقيقي والجزء الخيالي للناتج النهائي.

القوانين المستخدمة هي:

  1. تمثيل الأعداد المعقدة بشكل مستطيلي باستخدام الدوال الهامة $\sin$ و $\cos$ والأعداد الخيالية.
  2. قاعدة رفع العدد المعقد إلى قوة $n$.
  3. استخدام الدوال المثلثية لحساب القيم المطلوبة من الشكل المستطيلي للعدد المعقد.

تلك القوانين والمفاهيم مساعدة في فهم وحل المسائل الرياضية التي تتضمن الأعداد المعقدة والتحويل بين التمثيل المستطيلي والتمثيل الجبري.

اخر تحديث 07/02/2024
0