حساب العنصر الخمسين في متتابعة حسابية (مسألة رياضيات)

المتتابعة الحسابية هي تسلسل من الأعداد حيث يكون الفرق بين أي عنصرين متتاليين ثابتًا. في هذه المسألة، يُعطى لنا العنصر الأول (العضو الأول) والعنصر الثالث عشر (العضو الثالث عشر) في تلك المتتابعة، ونحتاج إلى حساب العنصر الخمسين.

لنقم بتحديد الفرق بين الأعضاء المتتالية، نستخدم المعادلة:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

حيث $a_n$ هو العضو الذي نريد حسابه (في هذه الحالة، العضو الخمسين)، $a_1$ هو العضو الأول، $n$ هو الموقع في التسلسل (في هذه الحالة، 50)، و $d$ هو الفرق بين الأعضاء المتتالية.

الفرق يمكن حسابه باستخدام العضوين المعطيين:

$d = a_3 – a_1$

الآن لنحسب الفرق:

$d = 29 – 5 = 24$

بعد أن حصلنا على الفرق ($d = 24$)، يمكننا استخدامه في المعادلة الأولى لحساب العضو الخمسين ($a_{50}$):

$a_{50} = 5 + (50-1) \times 24$

الآن، يكفي أن نقوم بحساب القيمة:

$a_{50} = 5 + 49 \times 24$

$a_{50} = 5 + 1176$

$a_{50} = 1181$

إذاً، العضو الخمسين في هذه المتتابعة الحسابية هو 1181.

بالطبع، دعونا نقوم بفحص الحل بمزيدٍ من التفاصيل ونُشير إلى القوانين والمفاهيم المستخدمة.

المعادلة العامة للعضو في متتابعة حسابية:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

حيث $a_n$ هو العضو الذي نريد حسابه (العضو الخمسين في هذه الحالة)، $a_1$ هو العضو الأول، $n$ هو الموقع في التسلسل، و $d$ هو الفرق بين الأعضاء المتتالية.

حساب الفرق ($d$):

$d = a_3 – a_1$

حيث $a_3$ هو العضو الثالث و $a_1$ هو العضو الأول.

في حلنا:

$d = 29 – 5 = 24$

تعويض القيم في المعادلة العامة:

$a_{50} = a_1 + (50-1)d$

نستخدم القيم المعروفة لحساب العضو الخمسين.

$a_{50} = 5 + (50-1) \times 24$

الحساب النهائي:

$a_{50} = 5 + 49 \times 24$

$a_{50} = 5 + 1176$

$a_{50} = 1181$

قوانين المستخدمة:

1. المعادلة العامة للعضو في متتابعة حسابية: تعبر عن العلاقة بين أي عنصر والعناصر الأولية والفرق بينها.

2. حساب الفرق ($d$): يتيح لنا معرفة كمية التغيير بين الأعضاء المتتالية، وهو أساسي لحساب العناصر اللاحقة.

3. تعويض القيم في المعادلة: نستخدم القيم المعروفة لحساب العنصر المطلوب.

4. الحساب النهائي: يُجرى للوصول إلى القيمة النهائية للعنصر المطلوب في التسلسل.

بهذا، نكون قد استخدمنا مجموعة من القوانين الرياضية والمفاهيم لحل المسألة بطريقة دقيقة ومنطقية.