نمو البكتيريا الهندسي وحساب العدد اليومي (مسألة رياضيات)

بدأت الكتلة البكتيرية قبل 10 أيام بـ 2 بكتيريا، وتتضاعف الكتلة يوميًا. وكل بكتيريا تعيش لمدة 12 يومًا. كم يكون حجم الكتلة اليوم؟

الحل:
لنحسب حجم الكتلة اليوم بناءً على المعلومات المتاحة. في اليوم الأول، يكون عدد البكتيريا هو 2. في اليوم الثاني، يتضاعف عددها إلى 2 × 2 = 4. وهكذا يتكرر النمو، حيث يتضاعف عدد البكتيريا يوميًا.

لنقم بحساب ذلك:

اليوم الأول: 2 بكتيريا
اليوم الثاني: 2 × 2 = 4 بكتيريا
اليوم الثالث: 2 × 2 × 2 = 8 بكتيريا
…
اليوم العاشر: 2^10 = 1024 بكتيريا

الآن، لاحظ أن البكتيريا تعيش لمدة 12 يومًا، وبالتالي البكتيريا التي بدأت في اليوم الأول قد توفيت. لذا، نحتاج إلى حساب عدد البكتيريا الحية اليوم. اليوم الحالي هو اليوم رقم 10، ولكن هناك بكتيريا تعيش لـ 12 يومًا، لذا ستظل البكتيريا الحية من اليوم الأول حتى اليوم 10 بصورة مستمرة.

عدد البكتيريا الحية اليوم = عدد البكتيريا في اليوم العاشر – عدد البكتيريا التي ماتت
= 1024 – 2
= 1022 بكتيريا

لذا، حجم الكتلة البكتيرية اليوم هو 1022 بكتيريا.

المسألة تعتمد على نمو هندسي حيث يتضاعف عدد البكتيريا يوميًا. نستخدم القاعدة الأسية لحساب عدد البكتيريا في أي يوم مستقبلي. القاعدة الأسية تُمثِّل بتعبير $N = P \times 2^d$، حيث:

• $N$ هو عدد البكتيريا في اليوم المستهدف.
• $P$ هو العدد الأصلي للبكتيريا.
• $d$ هو عدد الأيام التي مرت.

في هذه المسألة:

• $P = 2$ بكتيريا (لأن بدأت الكتلة بـ 2 بكتيريا).
• $d = 10$ يومًا (لأن مرت 10 أيام).

نقوم بحساب $N$:

$N = 2 \times 2^{10} = 2 \times 1024 = 2048$

لكن يجب أن نلاحظ أن البكتيريا تعيش لمدة 12 يومًا فقط. لذا، نحتاج إلى حساب البكتيريا التي ماتت في هذه الفترة. عدد الأيام التي يبقى فيها البكتيريا حية هو 10 يومًا، لذا نحسب البكتيريا التي ماتت:

$\text{البكتيريا التي ماتت} = 2 \times (2^{\frac{10}{12}} – 1)$

حيث $2^{\frac{10}{12}}$ هو عدد الأيام المتبقية للبكتيريا الحية، ونطرح 1 لأن البكتيريا تموت في اليوم الـ 12.

نقوم بحساب هذا التعبير:

$\text{البكتيريا التي ماتت} = 2 \times (2^{\frac{5}{6}} – 1)$

ثم، نقوم بطرح عدد البكتيريا التي ماتت من إجمالي عدد البكتيريا:

$\text{البكتيريا الحية اليوم} = 2048 – \text{البكتيريا التي ماتت}$

الآن، نحسب هذا التعبير للوصول إلى العدد النهائي:

$\text{البكتيريا الحية اليوم} = 2048 – 2 \times (2^{\frac{5}{6}} – 1)$

هذه العمليات تعتمد على قوانين النمو الهندسي واستخدام القواعد الأسية في حساب عدد البكتيريا في أي يوم معين.