نسبة مساحة مثلث متساوي الأضلاع. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
تحديد النسبة، المعبر عنها بكسر جذري مبسط، لمساحة مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 4 وحدات إلى محيطه.

الحل:
لنبدأ بحساب مساحة المثلث المتساوي الأضلاع. يتمثل المثلث المتساوي الأضلاع في مجموعة من ثلاثة أضلاع متساوية الطول، وكل زاوية بها قيمة 60 درجة. لنستخدم القاعدة البسيطة لحساب مساحة المثلث:

$Area = \frac{1}{2} \times base \times height$

لكن بالنظر إلى طبيعة المثلث المتساوي الأضلاع، نجد أن الارتفاع يمكن حسابه باستخدام مبدأ الهندسة البسيطة. بالنظر إلى زاوية 60 درجة، يمكننا رؤية أن الارتفاع يمكن أن يكون الضلع نفسه مضروبا في جذر 3 على 2، لذا:

$Height = side \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

الآن، لنحسب المساحة:

$Area = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \, units^2$

المحيط لمثلث متساوي الأضلاع هو مجرد ضرب طول الضلع في عدد الأضلاع، وبما أن لدينا ثلاثة أضلاع، فإن المحيط يساوي:

$Perimeter = 3 \times 4 = 12 \, units$

الآن، لنقوم بحساب النسبة بين مساحة المثلث ومحيطه. سنقوم بتقسيم مساحة المثلث على المحيط:

$Ratio = \frac{Area}{Perimeter} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

إذاً، النسبة المعبر عنها بكسر جذري مبسط لمساحة المثلث المتساوي الأضلاع بطول 4 وحدات إلى محيطه هي $\frac{\sqrt{3}}{3}$

بالطبع، دعنا نوسّع التفاصيل حول حل المسألة ونذكر القوانين المستخدمة.

1. حساب مساحة المثلث المتساوي الأضلاع:
   لمثلث متساوي الأضلاع، يمكن استخدام القاعدة التالية لحساب مساحته:
   $Area = \frac{1}{2} \times base \times height$
   حيث أن ارتفاع المثلث يمكن حسابه باستخدام الجيومتريا البسيطة والزوايا المعروفة. في حالة المثلث المتساوي الأضلاع، يكون الارتفاع مساوياً لجذر 3 مضروباً في الضلع مقسوماً على 2.

2. حساب المحيط:
   لمثلث متساوي الأضلاع، يتم حساب المحيط ببساطة عن طريق ضرب طول الضلع في عدد الأضلاع، وهو 3 في حالة المثلث المتساوي الأضلاع.

3. تبسيط النسبة:
   بمجرد حساب المساحة والمحيط، يمكن تبسيط النسبة ببساطة عن طريق قسمة مساحة المثلث على محيطه.

4. التبسيط الجذري:
   تتمثل المسألة في تبسيط الجذر 3 في النسبة المعطاة. عادةً، يتم تبسيط الجذور عند قسمتها على عدد معين، وفي هذه الحالة نقسم جذر 3 على 3 للحصول على النسبة المبسطة.

باستخدام هذه القوانين والمبادئ الرياضية، نحسب مساحة المثلث، ثم نحسب المحيط، وبعدها نقوم بتبسيط النسبة للوصول إلى الإجابة النهائية.