نسبة مساحة دائرة صغيرة لمربع كبير (مسألة رياضيات)

يتم تضمين دائرة داخل مربع، ثم يتم تضمين مربع داخل هذه الدائرة، وأخيرًا، يتم تضمين دائرة داخل هذا المربع. ما هو نسبة مساحة الدائرة الصغيرة إلى مساحة المربع الأكبر؟

لنقم بتحديد بعض المتغيرات لتسهيل الحسابات. فلنفترض أن طول ضلع المربع الأصغر (المربع الذي يتم تضمينه في الدائرة) هو $x$.

نعلم أن قطر الدائرة الصغيرة يساوي طول ضلع المربع، لذا يكون قطر الدائرة الصغيرة هو $x$ أيضًا.

بما أن الدائرة الكبيرة تمر عبر أربع نقاط المربع (أي أركانه)، فإن قطر الدائرة الكبيرة يساوي قطر المربع الأصغر، وهو $x \times \sqrt{2}$.

لحساب مساحة الدائرة، نستخدم العلاقة:
$مساحة الدائرة = \pi \times (نصف القطر)^2$

لحساب مساحة المربع، نستخدم العلاقة:
$مساحة المربع = (طول الضلع)^2$

مساحة الدائرة الصغيرة:
$= \pi \times (\frac{x}{2})^2 = \frac{\pi x^2}{4}$

مساحة المربع الأصغر:
$= x^2$

نسبة مساحة الدائرة الصغيرة إلى مساحة المربع الأكبر هي:

$\frac{\text{مساحة الدائرة الصغيرة}}{\text{مساحة المربع الأكبر}} = \frac{\frac{\pi x^2}{4}}{(x \times \sqrt{2})^2} = \frac{\frac{\pi x^2}{4}}{2x^2} = \frac{\pi}{8}$

إذاً، النسبة هي $\frac{\pi}{8}$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم المفاهيم الهندسية للدوائر والمربعات، بالإضافة إلى بعض القوانين الهندسية الأساسية.

الخطوات:

1. تحديد المتغيرات: نفترض أن طول ضلع المربع الأصغر هو $x$.

2. حساب أبعاد الدوائر والمربعات:

   • قطر الدائرة الصغيرة يساوي طول ضلع المربع، وبالتالي يكون $x$.
   • قطر الدائرة الكبيرة يساوي ضلع المربع الأصغر مضروبًا في جذر 2 ($x \times \sqrt{2}$).

3. حساب مساحة الدوائر والمربعات:

   • مساحة الدائرة تُحسب بالعلاقة: $مساحة = \pi \times (نصف القطر)^2$.
   • مساحة المربع تُحسب بالعلاقة: $مساحة = (طول الضلع)^2$.

4. حساب النسبة بين المساحة الدائرة الصغيرة والمساحة المربع الأكبر:

   • نقسم مساحة الدائرة الصغيرة على مساحة المربع الأكبر.

قوانين هندسية استخدمناها:

• مساحة الدائرة: $\pi \times (نصف القطر)^2$
• مساحة المربع: $طول الضلع \times طول الضلع$
• علاقة بين ضلع المربع وقطر الدائرة الكبيرة: $ضلع المربع \times \sqrt{2}$

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نحسب مساحة الدائرة الصغيرة ومساحة المربع الأكبر، وبعد ذلك نقسم مساحة الدائرة الصغيرة على مساحة المربع الأكبر للحصول على النسبة المطلوبة.