نسبة قطري المكعبين: 5:3 فيثاغورس والتبسيط

نعتبر مكعبًا يكون لطول أضلاعه نسبة 5:3. الآن، نود معرفة النسبة بين قطر المكعبين. لنقم بتوضيح هذا السيناريو:

لنفترض أن الطول الفعلي للضلوع هو 5x و 3x على التوالي (حيث x هو عامل النسبة). القطر يتكون من جذر التربيع لمجموع أضلاع الوجه الذي يربط النقط المتقابلة على الضلوع. في حالة المكعب، يكون لدينا أربعة أضلاع في وجه مستطيل، وبالتالي القطر D لهذا الوجه يمكن حسابه باستخدام قانون فيثاغورس كالتالي:

$D = \sqrt{(l_1)^2 + (l_2)^2}$

حيث $l_1$ و $l_2$ هما الأضلاع المتقابلة. في حالة المكعب، يكون لدينا $l_1 = l_2$، لذا يمكننا استبدالها بـ $l$ لتبسيط الصيغة:

$D = \sqrt{l^2 + l^2} = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$

الآن، نستخدم هذا المعرف لحساب النسبة بين قطري المكعبين. لنقم بحساب النسبة:

$\text{النسبة} = \frac{D_1}{D_2} = \frac{l_1 \sqrt{2}}{l_2 \sqrt{2}}$

نلاحظ أن جميع عوامل الـ $\sqrt{2}$ تُبسط، لذا النسبة النهائية هي:

$\text{النسبة} = \frac{l_1}{l_2}$

وبما أن $l_1 = 5x$ و $l_2 = 3x$، يمكننا استبدال القيم:

$\text{النسبة} = \frac{5x}{3x}$

النسبة النهائية بين قطري المكعبين هي 5:3.

سنقوم بحل المسألة باستخدام المفهوم الهندسي وقوانين الهندسة الفراغية. لنفترض أن طول الضلع في المكعب الأول هو $5x$ وفي المكعب الثاني هو $3x$.

قانون فيثاغورس يقول إن قطر المربع يمكن حسابه باستخدام معادلة:

$D = \sqrt{l_1^2 + l_2^2}$

حيث $l_1$ و $l_2$ هما الأضلاع المتقابلة. في حالة المكعب، لدينا أربعة أضلاع في وجه المستطيل، لذا القطر $D$ يكون:

$D = \sqrt{(5x)^2 + (5x)^2}$

بتبسيط هذه المعادلة، نحصل على:

$D = \sqrt{25x^2 + 25x^2} = \sqrt{50x^2} = 5x\sqrt{2}$

الآن، سنقوم بحساب قطر المكعب الثاني:

$D’ = \sqrt{(3x)^2 + (3x)^2} = \sqrt{18x^2} = 3x\sqrt{2}$

النسبة بين القطرين تكون:

$\text{النسبة} = \frac{D}{D’} = \frac{5x\sqrt{2}}{3x\sqrt{2}}$

ترون أن عامل الـ $\sqrt{2}$ يتبسط، وبالتالي:

$\text{النسبة} = \frac{5x}{3x}$

وهو يتبسط أيضًا إلى:

$\text{النسبة} = \frac{5}{3}$

لذا، نستنتج أن النسبة بين قطري المكعبين هي 5:3. في هذا الحل، استخدمنا قانون فيثاغورس لحساب قطر المربع والتبسيط الجبري للوصول إلى النسبة النهائية.