نسبة حجم الكرة إلى نصف الكرة (مسألة رياضيات)

نعتبر نصف الكرة الذي يُعرف بالنصف الكروي، وسنقوم بحساب حجم الكرة وحجم النصف الكروي باستخدام الأنماط الرياضية المعروفة. لنبدأ بحساب حجم الكرة.

حجم الكرة يُعطى بالصيغة:
$V_{\text{كرة}} = \frac{4}{3} \pi r^3$

حيث $r$ هو نصف قطر الكرة. في هذه الحالة، يكون نصف قطر الكرة هو $p$ وبالتالي يكون قطر الكرة هو $2p$.

إذاً:
$r_{\text{كرة}} = p$

الآن سنحسب حجم الكرة:
$V_{\text{كرة}} = \frac{4}{3} \pi (p)^3$

المرحلة التالية هي حساب حجم النصف الكروي. حجم النصف الكروي يُعطى بالصيغة:
$V_{\text{نصف الكرة}} = \frac{2}{3} \pi r^3$

وهنا نستخدم نصف قطر الكرة الذي هو $p$ لأنه يمثل نصف قطر النصف الكروي.

إذاً:
$r_{\text{نصف الكرة}} = p$

ونحسب الآن حجم النصف الكروي:
$V_{\text{نصف الكرة}} = \frac{2}{3} \pi (p)^3$

الآن نقوم بحساب النسبة بين حجم الكرة وحجم نصف الكرة:
$\text{النسبة} = \frac{V_{\text{كرة}}}{V_{\text{نصف الكرة}}}$

نستخدم القيم التي حسبناها سابقًا:
$\text{النسبة} = \frac{\frac{4}{3} \pi (p)^3}{\frac{2}{3} \pi (p)^3}$

نقوم بإلغاء العوامل المشتركة ونحصل على:
$\text{النسبة} = \frac{4}{2} = 2$

إذاً، النسبة بين حجم الكرة وحجم نصف الكرة هي 2:1.

في هذه المسألة، قمنا بحساب حجم الكرة وحجم نصف الكرة باستخدام الصيغ الرياضية المتعلقة بأجسام ثلاثية الأبعاد. لنقم بتفصيل أكثر وذكر القوانين المستخدمة في الحل:

1. حجم الكرة:
   القاعدة المستخدمة هي صيغة حجم الكرة التي تُعطى بواسطة:
   $V_{\text{كرة}} = \frac{4}{3} \pi r^3$
   حيث $r$ هو نصف قطر الكرة.

   في هذه المسألة، تم استخدام قاعدة حساب نصف قطر الكرة وحساب حجم الكرة باستخدام هذه الصيغة.

2. حجم نصف الكرة:
   الصيغة المستخدمة لحجم نصف الكرة هي:
   $V_{\text{نصف الكرة}} = \frac{2}{3} \pi r^3$

   حيث تم استخدام نفس النصف قطر المستخدم في حساب حجم الكرة.

3. النسبة بين حجم الكرة وحجم نصف الكرة:
   لحساب النسبة بين حجم الكرة وحجم نصف الكرة، تم استخدام الصيغة:
   $\text{النسبة} = \frac{V_{\text{كرة}}}{V_{\text{نصف الكرة}}}$

   حيث تم استخدام قيم الحجم التي تم حسابها سابقًا.

باختصار، قمنا باستخدام الصيغ الرياضية لحساب حجم الكرة وحجم نصف الكرة، ومن ثم حسبنا النسبة بينهما. القوانين المستخدمة هي قوانين تتعلق بحساب حجوم الأشكال الهندسية الثلاثية الأبعاد، وتعتمد على قوانين الهندسة التحليلية والجبر.