نسبة المساحة بين المربع والدائرة (مسألة رياضيات)

نعتبر مربعًا ذا طول ضلعه $a$ ونستخدم $r$ لتمثيل نصف قطر الدائرة المقابلة له. المعطيات تشير إلى أن محيط المربع يكون مساويًا لمحيط الدائرة، لنعبر عن ذلك بالمعادلة:

$4a = 2\pi r$

المطلوب هو حساب النسبة بين مساحة المربع ومساحة الدائرة. نعلم أن مساحة المربع تُحسب بالصيغة $A_{\text{مربع}} = a^2$، ومساحة الدائرة تُحسب بالصيغة $A_{\text{دائرة}} = \pi r^2$. الآن، لدينا $a$ و $r$ متصلين بالعلاقة أعلاه.

نبدأ بحساب قيمة $r$ من المعادلة الأولى:

$r = \frac{4a}{2\pi} = \frac{2a}{\pi}$

الآن، نستخدم هذه القيمة لحساب مساحة الدائرة:

$A_{\text{دائرة}} = \pi \left(\frac{2a}{\pi}\right)^2 = \pi \left(\frac{4a^2}{\pi^2}\right) = \frac{4a^2}{\pi}$

نحسب النسبة بين مساحة المربع ومساحة الدائرة:

$\text{نسبة المساحة} = \frac{A_{\text{مربع}}}{A_{\text{دائرة}}} = \frac{a^2}{\frac{4a^2}{\pi}} = \frac{\pi}{4}$

إذا كانت الأطوال المعطاة تتفق مع الشروط المذكورة، فإن النسبة بين مساحة المربع ومساحة الدائرة هي $\frac{\pi}{4}$.

لنقم بحل هذه المسألة بتفصيل أكثر وباستخدام القوانين الهندسية المناسبة.

لنمثل الطول الخاص بضلع المربع بالحرف $a$، ونمثل نصف قطر الدائرة بالحرف $r$.

المعطيات تقول إن “محيط المربع يكون مساويًا لمحيط الدائرة”. ونعلم أن محيط المربع يُحسب بالصيغة:

$\text{محيط المربع} = 4a$

ومحيط الدائرة يُحسب بالصيغة:

$\text{محيط الدائرة} = 2\pi r$

وبما أنهما متساويان، فإننا نقدر كتابة المعادلة التي تربط بين $a$ و $r$:

$4a = 2\pi r$

الآن، لنحسب قيمة $r$ من المعادلة:

$r = \frac{4a}{2\pi} = \frac{2a}{\pi}$

الخطوة التالية هي حساب مساحة المربع ومساحة الدائرة. مساحة المربع تُحسب بالصيغة $A_{\text{مربع}} = a^2$، ومساحة الدائرة تُحسب بالصيغة $A_{\text{دائرة}} = \pi r^2$.

نقوم بحساب مساحة الدائرة باستخدام القيمة التي حسبناها لـ $r$:

$A_{\text{دائرة}} = \pi \left(\frac{2a}{\pi}\right)^2 = \frac{4a^2}{\pi}$

الآن، نحسب النسبة بين مساحة المربع ومساحة الدائرة:

$\text{نسبة المساحة} = \frac{A_{\text{مربع}}}{A_{\text{دائرة}}} = \frac{a^2}{\frac{4a^2}{\pi}} = \frac{\pi}{4}$

تم استخدام قانون حساب محيط المربع ومحيط الدائرة، وأيضاً استخدمنا قانون حساب مساحة المربع ومساحة الدائرة. القانون الرئيسي الذي تم استخدامه هو علاقة الأطوال في المربع والدائرة.