نسبة المساحات تحدد نسبة المحيطات (مسألة رياضيات)

مساحتي مربعين تتناسب بنسبة $25:36$. ما هو معدل طولي حوافهما؟ قم بالرد بالشكل $a:b$.

لحل هذه المسألة، نحتاج أولاً إلى معرفة العلاقة بين مساحة المربع وطول حافة الربع. يتم حساب مساحة المربع بالتالي:
$\text{مساحة المربع} = (\text{طول الحافة})^2$

الآن، لدينا مساحتين لاثنين من المربعات بنسبة $25:36$. لنجد العلاقة بين طولي حوافهما، نقوم بأخذ جذر التناسب للمساحات:
$\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}$

هذا يعني أن النسبة بين طولي حواف المربعين هي $5:6$. الآن، نعرف أن النسبة بين طولي حواف المربعات مباشرة متناسبة مع النسبة بين محيطيهما. لذا، الجواب النهائي هو $5:6$.

لحل هذه المسألة، سنقوم بالتركيز على العلاقة بين مساحة المربع وطول حافة الربع، ومن ثم سنستخدم هذه العلاقة للوصول إلى النسبة بين طولي حواف المربعين.

لنبدأ بتحديد العلاقة بين مساحة المربع وطول حافة الربع. يُمكننا استخدام العلاقة التالية:
$\text{مساحة المربع} = (\text{طول الحافة})^2$

الآن، لدينا مساحتين لاثنين من المربعات بنسبة $25:36$. لنجد العلاقة بين طولي حوافهما، نقوم بأخذ جذر التناسب للمساحات:
$\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}$

هنا، قد استخدمنا خاصية جذر التناسب للوصول إلى النسبة بين الأضلاع. هذه الخاصية تنطبق عندما نقوم بتطبيق الجذر على كلا الجانبين من نسبة.

الآن، بما أننا وجدنا النسبة بين طولي حواف المربعين وهي $5:6$، فإن النسبة بين محيطيهما تكون متساوية. وبما أن محيط المربع يُحسب عن طريق جمع أربعة أضلاع متساوية، فإن النسبة بين محيطي المربعين هي نفسها $5:6$.

للتوضيح، القوانين المستخدمة هي:

1. علاقة مساحة المربع وطول حافة الربع: $\text{مساحة المربع} = (\text{طول الحافة})^2$
2. خاصية جذر التناسب: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$