ميل الأسطر المائلة على الهايبربولا (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المعطاة تتعلق بالهايبربولا التي يعطيها المعادلة التالية: $\frac{x^2}{100} – \frac{y^2}{64} = 1$ حيث تمثل $y = \pm mx$ الأسطر المائلة للهايبربولا، حيث يكون $m$ قيمة موجبة. يُطلب منا أن نحدد قيمة $m$.

للبدء، لنلاحظ أن المعادلة المعطاة للهايبربولا تمثل الشكل القياسي للهايبربولا. بالمقارنة مع الشكل القياسي:

$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$

نجد أن قيم الـ $a$ و $b$ هي $\sqrt{100} = 10$ و $\sqrt{64} = 8$ على التوالي.

الآن، نعلم أن المعادلة العامة للأسطر المائلة للهايبربولا في الحالة العامة هي $y = \pm \frac{b}{a}x$. بالتالي، يمكننا استنتاج أن الميل $m$ للأسطر المائلة هو نسبة $b$ إلى $a$، أي:

$m = \frac{b}{a} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

لذا، قيمة $m$ هي $\frac{4}{5}$.

لحل المسألة وتحديد قيمة $m$، يمكننا اتباع الخطوات التالية:

1. المعرفة الأولية للهايبربولا: نعلم أن المعادلة المعطاة $\frac{x^2}{100} – \frac{y^2}{64} = 1$ تمثل هايبربولا بالشكل القياسي، حيث $a = 10$ و $b = 8$.

2. الميل للأسطر المائلة: يُمكننا استخدام الصيغة العامة للميل للأسطر المائلة على الهايبربولا، والتي هي $m = \frac{b}{a}$، حيث $a$ هو القيمة الأفقية لنصف المحور و $b$ هو القيمة الرأسية لنصف المحور.

3. حساب القيم: نعوض $a = 10$ و $b = 8$ في الصيغة، لذا $m = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

4. الاستنتاج: بالتالي، قيمة $m$ للأسطر المائلة للهايبربولا هي $\frac{4}{5}$.

القوانين المستخدمة في الحل هي:

• صيغة الهايبربولا: المستخدمة لتحديد شكل الهايبربولا ومعرفة قيم $a$ و $b$.
• صيغة الميل للأسطر المائلة على الهايبربولا: المستخدمة لحساب الميل للأسطر المائلة على الهايبربولا، والتي تعتمد على قيم $a$ و $b$ لنصف المحور.