منحنى بيزيه وأهميته في الرسوميات وصناعة الحركات في جافاسكربت

مقدمة

ظهر منحنى بيزيه Bézier Curve لأول مرة في ستينيات القرن الماضي بفضل المهندس الفرنسي بيير بيزيه الذي كان يعمل لدى شركة «رينو» لصناعة السيارات. كان الهدف الأساسي من تطوير هذا المنحنى وصف أشكال هيكل السيارة رياضيًّا بطريقة تسمح للحواسيب—التي كانت ما تزال محدودة القدرات آنذاك—بإعادة إنتاج الانحناءات بسلاسة ودقة. سرعان ما تجاوز المفهوم مجال التصميم الصناعي، ليصبح حجر الزاوية في رسومات الحاسوب Computer Graphics، ويتحول اليوم إلى مكوّن لا غنى عنه في عالم واجهات الويب وصناعة الحركات Animation عبر جافاسكربت.

1. الأساس الرياضي لمنحنيات بيزيه

1.1 تعريف المنحنى

منحنى بيزيه هو دالة رياضية تُمثَّل عادةً بواسطة نقاط تحكُّم Control Points، ويتحدد شكل المنحنى من خلال التوليف الخطي بين هذه النقاط وفق حدود كثيرة الحدود من الدرجة n. يُقسَّم المنحنى إلى ثلاثة أنواع رئيسة بحسب درجة التعددية (Polynomial Degree):

• منحنى خطي (درجة أولى): يربط خطًّا مستقيمًا بين نقطتين.

• منحنى تربيعي (درجة ثانية): يعتمد على ثلاث نقاط تحكّم.

• منحنى تكعيبي (درجة ثالثة): يعتمد على أربع نقاط تحكّم، وهو الأكثر شيوعًا لما يتميز به من ليونة وسهولة السيطرة.

1.2 معادلة بيرنشتاين Bernstein Form

يُعبَّر عن منحنى بيزيه التكعيبي عادة بالصيغة:

$$B(t)=\sum_{i=0}^{3} {3 \choose i}(1-t)^{3-i}t^{i}P_i,\; \; 0\le t\le 1$$

حيث $P_0, P_1, P_2, P_3$ هي نقاط التحكّم، و$t$ هو متغير يُسرَد من 0 إلى 1. تمنح هذه الصيغة المنحنى خصائص هندسية منها:

• التلاصق القوي بالنقاط الطرفية $P_0, P_3$.

• التماسك الداخلي: يقع المنحنى دائمًا داخل المضلّع المحدد بنقاط التحكّم Convex Hull.

• القابلية للتفريع: يمكن تقسيم المنحنى إلى مقاطع فرعية بمنتهى البساطة باستخدام خوارزمية ديكاستليجو De Casteljau.

1.3 خوارزمية ديكاستليجو

تعتمد الخوارزمية على الاستيفاء الخطي المتكرر بين نقاط التحكّم لتقييم مواقع نقاط المنحنى أو تقسيمه. توفر هذه العملية استقرارًا عدديًا أفضل مقارنة بالتقييم المباشر للمعادلات الكثيرة الحدود، وهي مفيدة جدًّا عند عيّنة المنحنى لرسمه على الشاشة أو أثناء التحريك.

2. منحنيات بيزيه في رسومات الحاسوب

2.1 دورها في النمذجة Modeling

تستثمر برامج التصميم ثنائية وثلاثية الأبعاد (مثل Adobe Illustrator وBlender) منحنيات بيزيه لصياغة الأشكال المعقّدة بدءًا من الشعارات وصولًا إلى الأسطح العضوية. تسمح قابلية ترتيب الدرجات والتحكم في النقاط للمصممين بتصحيح الانحناءات دون تشويه بقية الشكل.

2.2 Rasterization مقابل Vectorization

في النظم المتجهة Vector Graphics، يُخزَّن الشكل كبيانات هندسية (نقاط تحكّم)، بينما في النظم النقطية Raster Graphics يتم تحويل المنحنى إلى مجموعة بكسلات. يمنح التمثيل المتجه مزيّة تكبير غير محدود بدون فقدان دقة، وهذا يفسر اعتماد صيغ مثل SVG على منحنيات بيزيه باعتبارها الوحدة البنائية الأساسية.

2.3 تحسين الأداء Rendering Performance

إن احتساب نقاط من منحنى بيزيه أقل تكلفة حسابية من تعقب دوال مثل جيب التمام أو الدوال الكسيرية. إضافةً إلى ذلك، تسمح خاصية التقسيم Subdivision بإيقاف التكرار عندما يصل الانحناء إلى استقامة شبه تامة، ما يقلل عدد البكسلات المرسومة ويحسّن الأداء في الزمن الحقيقي.

3. جافاسكربت ومنحنيات بيزيه: الأساسيات

3.1 واجهات برمجية للمتصفح

• Canvas 2D API: توفِّر الدالة context.bezierCurveTo() وسيلة مباشرة لرسم المنحنيات التكعيبية.

• WebGL: يتطلب تمرير نقاط التحكّم إلى الشادر Shader، وتقييم المنحنى غالبًا في الشادر أو عبر خوارزمية التقسيم على CPU.

• SVG DOM API: تُمثَّل المنحنيات بخاصية d في عنصر باستخدام الأوامر C (تكعيبي) وQ (تربيعي).

3.2 مكتبات شهيرة

4. منحنيات بيزيه بوصفها دوال تسهيل Easing Functions

4.1 مفهوم التسهيل

في الرسوم المتحركة، يُقصَد بالتسهيل ضبط السرعة المتغيّرة للحركة بحيث تعكس واقعية فيزيائية؛ مثال ذلك التسارع في البداية والتباطؤ قرب النهاية. توفر جافاسكربت دوال جاهزة مثل ease-in, ease-out, لكن منحنى بيزيه يسمح بتصميم دوال مخصّصة تلائم سيناريوات محددة.

4.2 توصيف دالة التسهيل عبر CSS

تقبل خاصية transition-timing-function صيغة cubic-bezier(x1, y1, x2, y2) حيث تمثل القيم إحداثيات نقطتي التحكّم الداخلية، بينما تبدأ وتنتهي الدالة بـ(0,0) و(1,1). يمنح هذا المصمم تحكمًا كاملًا في وتيرة الحركة دون الحاجة لأي جافاسكربت إضافي.

4.3 التكامل مع GSAP

js
CopyEdit
import { CustomEase } from "gsap/CustomEase";
CustomEase.create("squishJump", "M0,0 C0.22,1.1 0.32,-0.1 1,1");
gsap.to(".ball", { y: -200, ease: "squishJump" });

يُشاهد هنا كيف حُوّلت مسار SVG مباشرة إلى دالة تسهيل بالشكل الذي يختصر الأكواد ويمنح نتائج دقيقة.

5. تقنيات متقدمة للتحريك باستخدام منحنيات بيزيه في جافاسكربت

5.1 مسارات الحركة Motion Paths

خصائص CSS مثل offset-path: path("M10 80 C 40 10, 65 10, 95 80"); تتيح تحريك عنصر DOM حول مسار بيزيه دون حساب الموضع يدويًا في كل لقطة إطار. تدعم جافاسكربت استعلام التقدم Progress وموضع العنصر بهدف مزامنة مؤثرات أخرى مثل دوران العنصر أو تغيير الخلفية.

5.2 التحريك التفاضلي Differential Animation

تُستخدم خوارزمية ديكاستليجو لتقسيم مسار معقّد إلى مقاطع صغيرة وتعيين توقيت غير خطي لكل مقطع، ما يسمح بتسريع جزء من المسار وإبطاء جزء آخر. يُنفّذ ذلك عادة في مكتبات مثل Anime.js عبر خاصية timeline.

5.3 الدمج مع الفيزياء Physics Integration

يُدمج منحنى بيزيه أحيانًا مع محاكيات فيزيائية لإعادة إنتاج ضغط نابض أو ارتداد كرة. بدل احتساب مسار السقوط الحر بكل مرة، يُصمَّم منحنى يطابق الحلول التفاضلية التقريبية ثم يُستخدم كدالة تسهيل لتقليل حسابات المعالج.

6. الاعتبارات الأمنية والأداء في المتصفح

6.1 الحد من استهلاك الذاكرة

رسم آلاف المنحنيات في إطار واحد قد يسبب ارتفاع استهلاك الذاكرة. من الأفضل إعادة استخدام Path2D أو تخزين المسارات كـ string في SVG واستخدام الخصائص CSS للتحريك، إذ يتم حساب المنحنى داخل محرك المتصفح المكتوب بلغة C++ والأكثر كفاءة.

6.2 التسريع العتادي Hardware Acceleration

عند استخدام transform: translate3d() بدل left/top، يُدفع العنصر إلى طبقة مركبة Composited Layer ما يتيح للـ GPU تسريع الحسابات الهندسية لمنحنيات بيزيه. هذا مفيد خاصة في الأجهزة المحمولة حيث تكون وحدة المعالجة محدودة.

6.3 إمكانية الوصول Accessibility

قد تسبب الحركة المبالغ فيها إزعاج بعض مستخدمي الويب. ينبغي احترام تفضيل النظام prefers-reduced-motion وإيقاف التسهيلات القائمة على بيزيه عند الحاجة:

js
CopyEdit
const reduce = window.matchMedia("(prefers-reduced-motion: reduce)");
if (reduce.matches) gsap.set(".animated", { clearProps: "all" });

7. منهجية تحسين محركات البحث (SEO) للمحتوى الرسومي التفاعلي

1. العنونة الدلالية: استخدم سمات aria-label لوصف مسارات SVG.

2. النص البديل: أضف role="img" و