معامل x 5 x^5 x 5 في توسيع ( 2 x + 3 ) 7 (2x+3)^7 ( 2 x + 3 ) 7 (مسألة رياضيات)

نريد حساب معامل $x^5$ في توسيع $(2x+3)^7$ باستخدام قاعدة القوى والمعاملين الثنائية. لحساب هذا المعامل، نحتاج إلى استخدام صيغة توسيع القوى (Binomial Expansion Formula)، والتي تعطينا المعامل العام للعبارة الموسعة.

الصيغة العامة لتوسيع $(a + b)^n$ هي:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

حيث $\binom{n}{k}$ هو المعامل الثنائي، ويُحسب باستخدام الصيغة التالية:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

في هذه الحالة، $a = 2x$، $b = 3$، و $n = 7$.

نريد العثور على المعامل المتعلق بـ $x^5$، وهو المعامل عندما يكون $k = 2$ في الصيغة المذكورة أعلاه.

لذلك، نقوم بتطبيق الصيغة كالتالي:

$\binom{7}{2} (2x)^{7-2} (3)^2$

حيث:

$\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

وبالتالي، نحصل على المعامل الذي يمثل $x^5$ كما يلي:

$21 \times 2^5 x^5 \times 3^2$

الآن، يمكننا حساب هذا العبارة بالتفصيل:

$21 \times 32 x^5 \times 9$

$21 \times 32 \times 9 x^5$

$6048 x^5$

لذلك، المعامل المطلوب هو 6048.

لحل المسألة وإيجاد المعامل المتعلق بـ $x^5$ في توسيع $(2x+3)^7$، سنحتاج إلى استخدام عدة قوانين وتقنيات من الجبر والجداء ونظرية المعاملين.

1. قاعدة القوى:
   نستخدم قاعدة القوى لتحديد كيفية تفاعل الأسس في التعبير.

2. صيغة توسيع القوى (Binomial Expansion Formula):
   هذه الصيغة تمكننا من توسيع تعبيرات بينومية مثل $(a + b)^n$.

3. معامل القوى الثنائي (Binomial Coefficient):
   هذا المعامل يحسب عن طريق الصيغة $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$، حيث يحدد عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار $k$ عناصر من مجموعة مكونة من $n$ عنصر.

الخطوات التفصيلية لحساب المعامل المطلوب:

1. تطبيق صيغة توسيع القوى:
   نقوم بتطبيق صيغة توسيع القوى $(a + b)^n$ مع $a = 2x$ و $b = 3$ و $n = 7$، حيث نحصل على تعبير مكون من عدة مصطلحات.

2. تحديد المعامل المتعلق بـ $x^5$:
   نحتاج إلى البحث عن المصطلح الذي يحتوي على $x^5$، وهذا يحدث عندما يكون $k = 2$ في $(2x)^{7-2}$ و $3^2$ في العبارة الموسعة.

3. حساب المعامل:
   نقوم بحساب المعامل باستخدام معامل القوى الثنائي وتطبيق العمليات الحسابية.

بهذه الطريقة، نحصل على المعامل المطلوب الذي يمثل معامل $x^5$ في توسيع $(2x+3)^7$.