معادلة المستوى في الفضاء الثلاثي. (مسألة رياضيات)

نحتاج أولاً إلى إيجاد متجهات للمستوى. للقيام بذلك، نستخدم نقطة تمر عبر المستوى ومتجهًا موازيًا للمستوى.

المتجه الموازي للمستوى هو متجه الاتجاه للخط الذي يحدد المستوى. في هذه الحالة، لدينا المعادلة المعطاة للخط، ومنها يمكننا استنتاج المتجه الموازي.

المعادلة المعطاة للخط هي:
$\frac{x + 1}{-3} = \frac{y – X}{5} = \frac{z + 2}{1}.$

من هذه المعادلة، نلاحظ أن المتجه الموازي للخط هو $(-3, 5, 1)$.

الآن، نحتاج إلى متجه آخر يكون في المستوى ومتعامد على المتجه الموازي للخط. نستطيع استخدام أي متجه متعامد على المتجه الموازي، ومن العادة نختار متجهًا يكون سهلًا في العمل معه.

من الأمثلة على متجهات متعامدة يمكن استخدامها:

• $(1, 0, 0)$
• $(0, 1, 0)$
• $(0, 0, 1)$

سنختار هنا متجهًا سهلاً للعمل معه، مثل $(1, 0, 0)$.

الآن نستخدم نقطة على المستوى، التي هي $(0, 7, -7)$، ونجمع النقطة والمتجه الذي هو متجه الموازي للخط ومتجه آخر متعامد على المتجه الموازي للخط للحصول على المعادلة العامة للمستوى.

إذاً، المعادلة العامة للمستوى هي:
$(-3, 5, 1) \cdot (x – 0, y – 7, z + 7) = 0.$

بعد الحساب، يصبح:
$-3(x – 0) + 5(y – 7) + 1(z + 7) = 0.$

وبتبسيط الحساب، نحصل على:
$-3x + 5y + z – 35 = 0.$

إذاً، الإجابة النهائية هي:
$-3x + 5y + z – 35 = 0.$

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الهندسة الخطية والجبر الخطي.

1. معادلة المستوى:
   المعادلة العامة لمستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد هي:
   $Ax + By + Cz + D = 0,$
   حيث $(x, y, z)$ هي نقطة في المستوى، و$(A, B, C)$ هو متجه معتدل عمودي على المستوى، و$D$ هو ثابت.

2. متجه موازي للخط:
   إذا كان لدينا خطًا بالفضاء، ولدينا معادلة لهذا الخط، يمكننا استخدام معاملات المعادلة لتحديد متجه موازي للخط.

3. متجه متعامد على متجهين آخرين:
   إذا كان لدينا متجهان في الفضاء، فيمكننا استخدام خاصية الإنتقاء للعثور على متجه متعامد على هذين المتجهين.

الآن، لحل المسألة:

أولاً، نحتاج إلى إيجاد المتجه الموازي للخط. لدينا الخط المعطى بمعادلته، ومن المعادلة يمكننا استنتاج المتجه الموازي.

ثانياً، نحتاج إلى اختيار متجه متعامد على المتجه الموازي. يمكننا استخدام أحد متجهات الوحدة (مثل $(1,0,0)$، $(0,1,0)$، $(0,0,1)$) أو أي متجه آخر يكون سهل العمل معه.

ثالثاً، بمعرفة المتجه الموازي للخط ومتجه متعامد عليه، يمكننا استخدام النقطة المعطاة على المستوى لتكوين المعادلة العامة للمستوى.

رابعاً، نضع المتجه الموازي للخط والمتجه المتعامد معًا مع النقطة في المعادلة العامة للمستوى.

أخيراً، نبسط المعادلة الناتجة للحصول على المعادلة العامة للمستوى.

باختصار، نستخدم المعادلات الخطية والمفاهيم الهندسية الأساسية لحساب المعادلة العامة للمستوى المطلوب.