معادلة البارابولا: حل وتطبيقات (مسألة رياضيات)

المطلوب إيجاد معادلة القطعة الناقصة التي تمثل قوس قطعة مخروطية (بارابولا)، حيث يكون مركزها الرأس عند $(2,4)$، ولها محور تماثل رأسي، وتمر عبر النقطة $(1,1)$.

لنبدأ بتحديد شكل المعادلة العامة للبارابولا:
$y = a(x – h)^2 + k$
حيث $(h, k)$ هي إحداثيات الرأس $(2,4)$.

بما أن البارابولا لدينا لها محور تماثل رأسي، فإن المعادلة ستكون محورية. ولأن النقطة $(1,1)$ على البارابولا، يمكننا استخدامها لحساب قيمة $a$.

نستخدم النقطة $(1,1)$ للحصول على المعادلة:
$1 = a(1 – 2)^2 + 4$
$1 = a(-1)^2 + 4$
$1 = a + 4$
$a = 1 – 4 = -3$

الآن بعد أن حصلنا على قيمة $a$، نعود إلى المعادلة العامة للبارابولا ونستبدل القيم:
$y = -3(x – 2)^2 + 4$

الآن نقوم بتوسيع الشكل للحصول على المعادلة بالشكل المطلوب:

$y = -3(x^2 – 4x + 4) + 4$
$y = -3x^2 + 12x – 12 + 4$
$y = -3x^2 + 12x – 8$

إذاً، معادلة البارابولا هي:
$y = -3x^2 + 12x – 8$

لحل المسألة وإيجاد معادلة البارابولا التي تمثل القوس، نحتاج إلى استخدام عدة مفاهيم وقوانين في الجبر والهندسة الفراغية. هذه القوانين تشمل:

1. معادلة البارابولا العامة: تمثل البارابولا بشكل عام بالمعادلة $y = a(x – h)^2 + k$ حيث $(h, k)$ هي إحداثيات الرأس و $a$ هو عامل الاستدراج.

2. محور التماثل: المحور الذي يمر عبر قمة البارابولا ويشتق القوس إلى جانبيه بالتناظر.

3. نقطة على البارابولا: يمكن استخدام النقاط التي تقع على البارابولا لحساب قيمة المتغيرات في المعادلة العامة.

4. قاعدة البارابولا: هو النقطة التي تقع في أسفل القوس.

5. المحور الرأسي والمحور الأفقي: يساعدان في تحديد اتجاه البارابولا وتماثلها.

باستخدام هذه القوانين، يتم تحديد معادلة البارابولا بناءً على المعلومات المعطاة في المسألة. في حالتنا:

• تعطينا إحداثيات الرأس $(2,4)$ وهي $(h,k)$ في معادلة البارابولا العامة.
• نقطة $(1,1)$ تعطينا قيمة $a$ من خلال استخدامها في المعادلة.
• توجد المحور الرأسي عموديًا على محور السينات ويمر عبر الرأس.
• البارابولا تحتوي على نقطة $(1,1)$ مما يعني أنها تقع على القوس.

من خلال استخدام هذه القوانين والمعلومات المعطاة في المسألة، يتم حساب معادلة البارابولا وتحديد شكلها وموقعها في الفضاء الرباعي.