مساحة مثلث قائم الزاوية. (مسألة رياضيات)

في مثلث قائم الزاوية PQR، حيث أن الزاوية Q تساوي الزاوية R، وطول الضلع QR يساوي 6√2، فما هو مساحة المثلث PQR؟

لنبدأ بحساب طول الضلع PQ. نعلم أن في المثلث القائم، الضلع المقابل للزاوية القائمة (الضلع الأطول) هو الوتر. ونظراً لأن Q و R زوايا متساوية، فإن المثلث PQR متساوي الأضلاع.

إذاً، يكون الضلع PQ يساوي طول الضلع QR، والذي يُعطى في السؤال، أي 6√2.

الآن، لحساب مساحة المثلث، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

مساحة المثلث = (القاعدة × الارتفاع) / 2

في هذه الحالة، القاعدة تكون طول الضلع PQ، والارتفاع هو طول الضلع QR.

نحسب الارتفاع بتقديم الضلع QR في الزاوية القائمة. يتم ذلك عن طريق قانون الجيب ونجد أن:

QR = PQ = 6√2

الآن، نستخدم هذه القيمة لحساب مساحة المثلث:

مساحة المثلث = (6√2 × 6√2) / 2 = (36 × 2) / 2 = 36

إذاً، مساحة المثلث PQR هي 36 وحدة مربعة.

لحل المسألة وحساب مساحة مثلث PQR، نحتاج إلى استخدام المعرفة المتعلقة بالمثلثات القائمة وبعض القوانين الهندسية الأساسية.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الجيب: هو قانون يستخدم لحساب الأضلاع في مثلث قائم الزاوية. يقول القانون إن نسبة طول الضلع المقابل لزاوية معينة إلى طول الوتر (الضلع الأطول) ثابتة في المثلث القائم. في هذه الحالة، يمكن استخدام قانون الجيب لحساب طول الضلع المجاور للزاوية القائمة إذا كنا نعرف الطول الآخر وزاوية معينة.
2. صيغة مساحة المثلث: المساحة = (القاعدة × الارتفاع) / 2. هذه الصيغة تُستخدم لحساب مساحة المثلث عندما يكون لدينا القاعدة (الضلع القاعدي) والارتفاع (المسافة الرأسية من قاعدة المثلث إلى الضلع المقابل لها).

الآن، لحساب مساحة المثلث PQR:

1. نعرف أن الزاوية Q تساوي الزاوية R، لذلك يكون المثلث PQR متساوي الأضلاع.
2. الضلع QR المعطى في السؤال هو 6√2.
3. لحساب طول الضلع PQ، نستخدم خصائص المثلث المتساوي الأضلاع، لذلك PQ = QR = 6√2.
4. الآن، لدينا القاعدة PQ والارتفاع QR.
5. نستخدم صيغة مساحة المثلث: المساحة = (القاعدة × الارتفاع) / 2.
6. نعوض القيم ونحسب المساحة: المساحة = (6√2 × 6√2) / 2 = (36 × 2) / 2 = 36.

إذاً، مساحة المثلث PQR هي 36 وحدة مربعة.