مساحة مثلث قائم الزاوية (مسألة رياضيات)

إذا كانت الوتر (الضلع الأطول في المثلث القائم) لمثلث قائم الزاوية المتساوي الأضلاع يساوي 4√2 وحدة، فما هي مساحة المثلث بوحدات مربعة؟

لنحل هذه المسألة، نبدأ بتحديد معلوماتنا. المثلث القائم الزاوية المتساوي الأضلاع لديه ضلعين متساويين وهما الضلعان القائمان على بعضهما البعض، والوتر يكون الضلع الأطول ويفصل الزاوية القائمة إلى زاويتين متساويتين.

في هذه الحالة، إذا كانت طول الوتر يساوي 4√2 وحدة، فإننا نعلم أن الضلعين الآخرين متساويين، لأنهما يشكلان زاوية قائمة. لحساب مساحة المثلث، نستخدم الصيغة التالية:

مساحة المثلث = (القاعدة × الارتفاع) ÷ 2

في حالتنا هذه، القاعدة والارتفاع يكونان متساويين لأن المثلث قائم الزاوية المتساوي الأضلاع. لذا، يمكننا تعويض القيمة مباشرة.

لحساب الارتفاع، يمكننا استخدام نصف قيمة الوتر كقاعدة للمثلث، حيث أن القاعدة هي الضلع المشترك بين المثلثين المتشابهين الأعلى والأسفل، وبما أن المثلث قائم الزاوية، فإن القاعدة تكون أيضًا الارتفاع.

إذاً، القاعدة = الارتفاع = (نصف الوتر) = (4√2) / 2 = 2√2.

الآن، يمكننا حساب مساحة المثلث باستخدام الصيغة المذكورة سابقًا:

مساحة المثلث = (القاعدة × الارتفاع) ÷ 2
= (2√2 × 2√2) ÷ 2
= (4 × 2) ÷ 2
= 8 ÷ 2
= 4 وحدات مربعة.

إذاً، مساحة المثلث هي 4 وحدات مربعة.

لحل المسألة التي تتعلق بمثلث قائم الزاوية المتساوي الأضلاع وحساب مساحته، نحتاج إلى استخدام مفاهيم هندسية أساسية وقوانين تتعلق بالمثلثات والمثلثات القائمة.

القوانين والمفاهيم المستخدمة تشمل:

1. قانون بيثاغورس: ينص على أن في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر (الوتر هو الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة) يساوي مجموع مربعي طول الضلعين الآخرين. في هذه المسألة، نعطي طول الوتر ونستخدم هذا القانون لحساب طول الضلعين الآخرين.

2. قاعدة مثلث قائم الزاوية المتساوي الأضلاع: في مثلث قائم الزاوية المتساوي الأضلاع، القاعدة (الضلع المشترك بين المثلثين المتشابهين) تكون متساوية للارتفاع. يمكن استخدام هذه الخاصية لحساب الارتفاع ومن ثم حساب مساحة المثلث.

الآن، دعونا نقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

نعطي أن طول الوتر (الوتر يقابل الزاوية القائمة) يساوي $4\sqrt{2}$ وحدة. وفقًا لقانون بيثاغورس، يمكننا حساب طول الضلعين الآخرين. إذاً:

لكن نلاحظ أن المثلث متساوي الأضلاع، لذا $\text{طول الضلع} = \text{طول الضلع المتساوي}$. لنفرض أن طول الضلع المتساوي يساوي $x$ وحدة. إذاً:

نحل هذه المعادلة للحصول على قيمة $x$، ثم نستخدم هذه القيمة لحساب مساحة المثلث.

بعد حساب قيمة $x$، يكون لدينا القاعدة والارتفاع متساويين، كلاهما يساوي نصف قيمة الوتر، والمساحة تحسب بالقانون التالي:

سنقوم الآن بحل المعادلة للحصول على القيمة المحددة لطول الضلع ومن ثم حساب المساحة باستخدام القانون السابق ذكره. الخطوات الحسابية تشمل التلاعب بالجذور والقوى والعمليات الحسابية الأساسية. سنقوم بحساب كل خطوة بعناية للحصول على الإجابة الصحيحة بدقة.