مساحة مثلث قائم: الحساب والتطبيقات (مسألة رياضيات)

ضع في اعتبارك مثلثًا قائم الزاوية، حيث تُمثّل الضلع الأطول مقابل الزاوية القائمة، والضلع الأقصر يكون متقابلاً للزاوية الأصغر. إذا كان الضلع الأطول يبلغ 5 أمتار والضلع الأقصر 3 أمتار، فإنه بمجرد معرفة هذه المعلومات يمكنك حساب مساحة المثلث.

بما أن المثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام قاعدة حساب مساحة المثلث المعروفة، والتي تقول: “مساحة المثلث = (نصف ضلع القاعدة) × (الارتفاع)”.

أولاً، نحتاج إلى معرفة الارتفاع. يمكننا استخدام الضلعين المعروفين لحساب الارتفاع. بما أن المثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام مبدأ المثلثات المتشابهة. بالتالي، النسبة بين طول الضلع الأقصر والارتفاع هي نفسها كنسبة بين الضلع الأطول والارتفاع. إذا كان الضلع الأقصر 3 والضلع الأطول 5، فإن النسبة بينهما هي 3:5.

الآن، يمكننا حساب الارتفاع بالضرب في النسبة المناسبة. نحتاج إلى قسم الضلع الأطول على النسبة العكسية للضلع الأقصر، وهي 5:3.
$\text{الارتفاع} = \frac{5}{3} \times 3 = 5$

الآن، وبعد أن عرفنا القاعدة والارتفاع، يمكننا حساب مساحة المثلث:
$\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$
$= \frac{1}{2} \times 3 \times 5 = 7.5 \, \text{متر مربع}$

إذاً، مساحة المثلث تساوي 7.5 متر مربع.

في هذه المسألة، نتعامل مع مثلث قائم الزاوية، وهو مثلث يحتوي على زاوية قائمة تبلغ 90 درجة. يعتبر القانون الأساسي المستخدم في حساب مساحة مثلث قائم الزاوية هو قانون “نصف القاعدة مضروبًا في الارتفاع”.

1. قانون مساحة المثلث القائم:
   مساحة المثلث = (نصف طول القاعدة) × (الارتفاع)

المعلومات المعطاة في المسألة هي طول الضلعين المتقابلين للزاوية القائمة، وهما الضلع الأطول (5 متر) والضلع الأقصر (3 متر). يتطلب الحل استخدام المعرفة بالعلاقة بين طول القاعدة والارتفاع لتطبيق القانون المذكور أعلاه.

2. العلاقة بين الضلوع والارتفاع:
   في مثلث قائم الزاوية، إذا كانت طول قاعدة المثلث تساوي $b$، والارتفاع يساوي $h$، والضلع الثالث (المتقابل للزاوية القائمة) يساوي $c$، فإن العلاقة بينهما تكون على النحو التالي:
   $c^2 = a^2 + b^2$
   حيث $c$ هو الضلع الأطول، $b$ هو الضلع الأقصر، و $a$ هو الارتفاع.

باستخدام هذه المعلومات والقوانين، يمكننا حساب مساحة المثلث كما سبق في الإجابة السابقة. تمثلت الخطوات الإضافية في استخدام العلاقة بين الضلوع لحساب الارتفاع، ومن ثم استخدام القانون المعروف لحساب المساحة. يتم تجاهل الخطوات الحسابية الدقيقة للحفاظ على تبسيط الشرح والتركيز على المفاهيم الرئيسية في الحل.