مساحة لوز في الإحداثيات: حل وشرح (مسألة رياضيات)

المسألة:

في نظام الإحداثيات المستطيلة، ما هي مساحة اللوز ذي الرؤوس التي تحمل الإحداثيات (0، 4.5)، (8، 0)، (0، -4.5)، (-8، 0)؟

الحل:

لحساب مساحة اللوز، يمكننا استخدام الصيغة:

$\text{مساحة اللوز} = \frac{d_1 \times d_2}{2}$

حيث $d_1$ و $d_2$ هما الأضلاع القطرين لللوز. يمكن حساب الأضلاع القطرين باستخدام النقاط المعطاة.

لنحسب الأضلاع:

$d_1 = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
$d_2 = \sqrt{(x_4 – x_3)^2 + (y_4 – y_3)^2}$

حيث $(x_1, y_1)، (x_2, y_2)، (x_3, y_3)، (x_4, y_4)$ هي إحداثيات الرؤوس المتتالية لللوز.

في حالتنا:

$d_1 = \sqrt{(8 – 0)^2 + (0 – 4.5)^2}$
$d_2 = \sqrt{(0 – (-8))^2 + ((-4.5) – 0)^2}$

$d_1 = \sqrt{64 + 20.25} = \sqrt{84.25}$
$d_2 = \sqrt{64 + 20.25} = \sqrt{84.25}$

الآن، نستخدم هاتين القيمتين لحساب مساحة اللوز:

$\text{مساحة اللوز} = \frac{\sqrt{84.25} \times \sqrt{84.25}}{2}$

$\text{مساحة اللوز} = \frac{84.25}{2}$

$\text{مساحة اللوز} = 42.125$

إذا كان لدينا لوز في هذا النظام الإحداثي، فإن مساحته ستكون 42.125 وحدة مربعة.

بالتأكيد، دعونا نقوم بفحص هذه المسألة بمزيد من التفصيل وذلك باستخدام القوانين والمفاهيم الرياضية المتعلقة.

القوانين المستخدمة:

1. مسافة بين نقطتين في الإحداثيات:
   $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

2. مساحة اللوز:
   $\text{مساحة اللوز} = \frac{d_1 \times d_2}{2}$

الحل:

لنحسب الأضلاع القطرية $d_1$ و $d_2$ باستخدام النقاط المعطاة:

$d_1 = \sqrt{(8 – 0)^2 + (0 – 4.5)^2}$
$d_2 = \sqrt{(0 – (-8))^2 + ((-4.5) – 0)^2}$

$d_1 = \sqrt{64 + 20.25} = \sqrt{84.25}$
$d_2 = \sqrt{64 + 20.25} = \sqrt{84.25}$

ثم نستخدم هاتين القيمتين لحساب مساحة اللوز:

$\text{مساحة اللوز} = \frac{\sqrt{84.25} \times \sqrt{84.25}}{2}$

$\text{مساحة اللوز} = \frac{84.25}{2}$

$\text{مساحة اللوز} = 42.125$

بهذا الشكل، يتم تحديد مساحة اللوز باستخدام القوانين المذكورة أعلاه، حيث تم استخدام مبدأ حساب المسافة بين نقطتين في الإحداثيات للعثور على الأضلاع القطرية، ثم تم استخدام قانون مساحة اللوز للحصول على الناتج النهائي.