مساحة الدائرة: حل تحليلي. (مسألة رياضيات)

المعادلة التي تحدد المنطقة المحاطة بها هي: $x^2 + y^2 + 12x + 16y = 0$

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام إكمال المربع لتجديد الشكل الرياضي للمعادلة، ومن ثم تحليلها للوصول إلى معرفة مساحة المنطقة المطلوبة.

لإكمال المربع، يتوجب علينا إضافة مصطلحات جديدة إلى المعادلة الأساسية بهدف تحويلها إلى صيغة مربعية مثالية. لذا، لنبدأ بتكميل المربع لكل من $x$ و $y$.

بالنسبة لـ $x$:
نقوم بإضافة مربع نصف معامل $x$ (يعني نضيف $(\frac{12}{2})^2 = 36$) لكلا الجانبين من المعادلة.

بالنسبة لـ $y$:
نقوم بإضافة مربع نصف معامل $y$ (يعني نضيف $(\frac{16}{2})^2 = 64$) لكلا الجانبين من المعادلة.

بتطبيق هذه العمليات، نحصل على المعادلة بعد إكمال المربع كالتالي:

نقوم الآن بتجميع المصطلحات المشابهة:

الآن، بعد تحويل المعادلة إلى صيغة مربعية مثالية، نلاحظ أن المتغيرات $x$ و $y$ ليست مرتبطة بأي عامل. هذا يعني أن المعادلة تمثل نقطة واحدة وهي (-6، -8).

نلاحظ أن مركز الدائرة هو (-6، -8) ونصف القطر هو 0 (لا توجد نقط أخرى على هذه الدائرة).

بما أن الدائرة ليس لديها أي مساحة، فإن المنطقة المحاطة بها هي مساحة صفر.

إذاً، مساحة المنطقة المحاطة بالدائرة هي صفر.

لحل مسألة حساب مساحة المنطقة المحاطة بالدائرة المعطاة بالمعادلة $x^2 + y^2 + 12x + 16y = 0$، نستخدم المفهوم الهندسي للدوائر والمساحات المحاطة بها.

الحل يستند إلى القوانين التالية:

1. إكمال المربع:
   نقوم بإضافة مصطلحات إضافية إلى المعادلة الأصلية بهدف تحويلها إلى صيغة مربعية مثالية. هذا يتضمن إضافة مربعات نصف المعاملات لكل من $x$ و $y$.

2. الدائرة بالمستوى الكارتيزي:
   بعد إكمال المربع، نحصل على المعادلة بصيغة دائرة في المستوى الكارتيزي، حيث يكون مركز الدائرة $(-6، -8)$ ونصف القطر يساوي صفر.

3. مساحة الدائرة:
   تُحسب مساحة الدائرة باستخدام الصيغة: $A = \pi r^2$. في هذه الحالة، نصف القطر يساوي صفر، لذا المساحة تكون صفر.

بناءً على القوانين السابقة، نستنتج أن المنطقة المحاطة بالدائرة هي صفر لأن نصف القطر يساوي صفر، وبالتالي فإن مساحة الدائرة تكون صفر.

الحل يعتمد على مفاهيم الجبر والهندسة الأساسية، حيث يتم استخدام الرموز الرياضية والمعادلات الهندسية لتمثيل وحساب المنطقة المطلوبة.