مجموع لوغاريتمات مع أساس متغير (مسألة رياضيات)

نريد حساب مجموع التالي:

$\log_{2002} (11^2) + \log_{2002} (13^2) + \log_{2002} (14^2)$

نعلم أنه يمكننا استخدام خاصية اللوغاريتمات لدمج السلسلة إلى لوغاريتم واحد. وفقًا لقاعدة اللوغاريتمات، يمكننا كتابة السلسلة السالفة ذكرها على النحو التالي:

$\log_{2002} (11^2 \times 13^2 \times 14^2)$

لحساب القيمة في الأقواس، يجب ضرب الأرقام معًا:

$11^2 \times 13^2 \times 14^2 = (11 \times 11) \times (13 \times 13) \times (14 \times 14)$

$= 121 \times 169 \times 196$

الآن، يمكننا الحساب:

$\log_{2002} (121 \times 169 \times 196)$

للتبسيط، يمكننا استخدام القاعدة التي تقول:

$\log_a (b \times c) = \log_a b + \log_a c$

لذا، يصبح العبارة:

$\log_{2002} 121 + \log_{2002} 169 + \log_{2002} 196$

الآن نستخدم حقيقة أن $\log_a a = 1$ لأي قيمة $a$:

$\log_{2002} 121 + \log_{2002} 169 + \log_{2002} 196 = 1 + 1 + 1 = 3$

إذاً، الناتج النهائي للمعادلة هو 3.

لحل المسألة المعطاة، سنقوم بتطبيق مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية المهمة. سنبدأ بتفكيك العملية إلى خطوات أصغر لفهم الحل بشكل أفضل.

المعادلة الأساسية التي نحتاج إلى حساب مجموعها هي:

$\log_{2002} (11^2) + \log_{2002} (13^2) + \log_{2002} (14^2)$

أولاً، نستخدم قاعدة اللوغاريتمات التي تقول:

$\log_a (b^c) = c \times \log_a b$

بمعنى آخر، نستطيع تحويل الأس العددي في اللوغاريتم إلى مضاعفة للوغاريتم نفسه بقاعدة $a$. هذا يعني أننا يمكننا كتابة:

$\log_{2002} (11^2) = 2 \times \log_{2002} (11)$

وبالمثل:

$\log_{2002} (13^2) = 2 \times \log_{2002} (13)$
$\log_{2002} (14^2) = 2 \times \log_{2002} (14)$

ثانيًا، نستخدم قاعدة جمع اللوغاريتمات التي تقول:

$\log_a (b \times c) = \log_a b + \log_a c$

نستطيع استخدام هذه القاعدة لتقسيم المعادلة إلى ثلاثة أجزاء منفصلة، حيث نضع اللوغاريتمات في مجموع متتالي:

$2 \times \log_{2002} (11) + 2 \times \log_{2002} (13) + 2 \times \log_{2002} (14)$

وأخيرًا، نستخدم حقيقة أن $\log_a a = 1$ لأي قيمة $a$. بمعنى آخر، لو كان الأساس والأس متساويين، فإن الناتج سيكون واحدًا. لذا، كل جزء من المعادلة السابقة يصبح 2، ومجموعهم يكون:

$2 + 2 + 2 = 6$

إذًا، الناتج النهائي لمعادلتنا الأساسية هو 6.

القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. قاعدة اللوغاريتمات: $\log_a (b^c) = c \times \log_a b$
2. قاعدة جمع اللوغاريتمات: $\log_a (b \times c) = \log_a b + \log_a c$
3. خاصية اللوغاريتم: $\log_a a = 1$

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم الرياضية، تم حساب النتيجة بنجاح.