مجموع عوامل أعداد أولية فريدة (مسألة رياضيات)

ما هو مجموع عوامل الأعداد الأولية الفريدة للتعبير $5^5 – 5^3$؟

حل المسألة:

لحساب $5^5 – 5^3$، يمكننا تطبيق قاعدة أسية، حيث:
$5^5 – 5^3 = (5^3)(5^2 – 1).$

الآن، لنقم بعملية الضرب والطرح داخل القوس:

$5^2 – 1 = 25 – 1 = 24.$

هذا يمكن تعبيره على شكل عاملين كالتالي:
$5^2 – 1 = (5 + 1)(5 – 1) = 6 \times 4 = 24.$

وبالتالي، يمكن كتابة $5^5 – 5^3$ بصورة مبسطة على النحو التالي:
$5^5 – 5^3 = (5^3)(5^2 – 1) = (5^3)(6 \times 4).$

الآن، يمكننا تفكيك العبارة إلى عواملها الأولية:
$5^5 – 5^3 = (5^3)(2^2 \times 3 \times 5).$

هنا، يمكننا ملاحظة أن العوامل الأولية الفريدة للتعبير هي $2$ و $3$ و $5$.

لذا، مجموع العوامل الأولية الفريدة هو:
$2 + 3 + 5 = 10.$

إذاً، مجموع العوامل الأولية الفريدة للتعبير $5^5 – 5^3$ هو $10$.

لحل المسألة وإيجاد مجموع العوامل الأولية الفريدة للتعبير $5^5 – 5^3$، سنستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية.

أولاً وقبل كل شيء، يمكننا تطبيق قاعدة أسية لتبسيط التعبير، حيث:
$5^5 – 5^3 = (5^3)(5^2 – 1).$

القاعدة المستخدمة هي قاعدة فارق مربعين:
$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b).$

بالتطبيق هنا:
$5^2 – 1 = (5 + 1)(5 – 1) = 6 \times 4 = 24.$

ثانياً، يجب أن نعرف أن:
$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125.$

الآن، يمكننا تعبير $5^5 – 5^3$ بصورة مبسطة على النحو التالي:
$5^5 – 5^3 = (5^3)(5^2 – 1) = (5^3)(6 \times 4).$

ثالثاً، سنفكك العبارة إلى عواملها الأولية. وهنا يأتي دور قانون عامل الأعداد:
$a \times b = c \Rightarrow c = (a_1^{n_1})(a_2^{n_2}) \times (b_1^{m_1})(b_2^{m_2})$

حيث $a_1, a_2, b_1, b_2$ عوامل فريدة.

هنا، نجد أن العوامل الأولية الفريدة لـ $5^5 – 5^3$ هي $2$ و $3$ و $5$.

وأخيرًا، نستخدم قانون جمع العوامل لإيجاد المجموع:
$2 + 3 + 5 = 10.$

إذاً، مجموع العوامل الأولية الفريدة للتعبير $5^5 – 5^3$ هو $10$.

بهذا، نكون قد استخدمنا مجموعة من القوانين الرياضية، مثل قواعد الأسية وعوامل الأعداد، لحل المسألة والوصول إلى الإجابة المطلوبة.