مجموع سلسلة هندسية: الحسابات الأساسية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي حساب مجموع سلسلة هندسية متتابعة تبدأ بالعدد 1 وتتكون من الأعداد التالية بناءً على نسبة ثابتة واحدة خاصة بالسلسلة. السلسلة هنا هي: 1، 1/5، (1/5)^2، (1/5)^3، وهكذا.

لحساب مجموع هذه السلسلة، نستخدم الصيغة التالية:

$S = \frac{a}{1 – r}$

حيث أن:

• $S$ هو مجموع السلسلة.
• $a$ هو العنصر الأول في السلسلة.
• $r$ هو النسبة الثابتة.

في هذه الحالة:

• $a = 1$، لأن العنصر الأول في السلسلة هو 1.
• $r = \frac{1}{5}$، لأن النسبة بين العناصر المتتالية هي $\frac{1}{5}$.

بوضع قيم $a$ و $r$ في الصيغة، نحسب قيمة $S$:

$S = \frac{1}{1 – \frac{1}{5}}$
$S = \frac{1}{1 – \frac{1}{5}} = \frac{1}{1 – \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{5}{5} – \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{4}{5}}$
$S = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{\frac{4}{5}} \times \frac{5}{5} = \frac{5}{4}$

إذا، مجموع السلسلة الهندسية المعطاة هو $\frac{5}{4}$.

لحساب مجموع السلسلة الهندسية، نستخدم بعض القوانين والمفاهيم الرياضية المهمة:

1. تعريف السلسلة الهندسية: السلسلة الهندسية هي سلسلة من الأعداد حيث يتم الحصول على كل عنصر بضرب العنصر السابق في النسبة الثابتة المعروفة باسم نسبة التناسب الهندسي.

2. الصيغة العامة لمجموع السلسلة الهندسية: يمكن حساب مجموع السلسلة الهندسية $S$ بواسطة الصيغة التالية:
   $S = \frac{a}{1 – r}$
   حيث أن $a$ هو العنصر الأول في السلسلة و $r$ هو نسبة التناسب الهندسي.

3. النسبة الثابتة في السلسلة الهندسية: تتمثل في النسبة بين أي عنصرين متتاليين في السلسلة. في هذه الحالة، النسبة الثابتة $r$ هي $\frac{1}{5}$.

4. العنصر الأول في السلسلة: في هذه المسألة، العنصر الأول $a$ هو 1.

الآن، لحساب مجموع السلسلة الهندسية المعطاة:

1. نحدد القيم للعناصر $a$ و $r$.

   • $a = 1$ (العنصر الأول).
   • $r = \frac{1}{5}$ (النسبة الثابتة).

2. نستخدم الصيغة العامة لمجموع السلسلة الهندسية:
   $S = \frac{1}{1 – \frac{1}{5}}$

3. نقوم بحساب القيمة:
   $S = \frac{1}{1 – \frac{1}{5}} = \frac{1}{1 – \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{5}{5} – \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{4}{5}}$

4. بعد ذلك، نقوم بتبسيط التعبير:
   $S = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{\frac{4}{5}} \times \frac{5}{5} = \frac{5}{4}$

إذا، مجموع السلسلة الهندسية المعطاة هو $\frac{5}{4}$.