مجال دالة كسرية: التحديد والمحظورات (مسألة رياضيات)

الدالة المعطاة هي $\frac{x+1}{x^2+6x+8}$.

لحساب المجال، نحتاج إلى تحديد القيم التي يمكن أن تتخذها المتغيرات داخل الدالة دون أن تسبب أي مشكلة في التعريف.

أولاً، نحتاج إلى تحديد القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير $x$ دون أن يسبب حدوث تقسيم على الصفر في المقام.

نعلم أن التقسيم على الصفر يحدث عندما يكون المقام يساوي الصفر. لذا، يجب علينا حل المعادلة التالية لمعرفة القيم المحظورة:
$x^2 + 6x + 8 = 0$

نحل المعادلة باستخدام الطريقة التالية:
$x^2 + 6x + 8 = 0$
$(x + 4)(x + 2) = 0$

من هنا، يتضح أن القيم المحظورة لـ $x$ هي $-4$ و $-2$، لأن تقسيم المقام على الصفر يحدث عند $x = -4$ و $x = -2$.

الآن، نحتاج إلى التأكد من أن الدالة معرفة لجميع القيم الأخرى لـ $x$. لأن الدالة هي كسر، فهي معرفة لجميع الأعداد الحقيقية باستثناء تلك القيم التي قمنا بتحديدها (بالإضافة إلى أي قيمة أخرى قد تجعل المقام يساوي الصفر).

لذا، المجال الخاص بالدالة هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء $-4$ و $-2$.

لحساب المجال (أو الدائرة القيم) للدالة العرضية $\frac{x+1}{x^2+6x+8}$، نحتاج إلى مراجعة بعض القواعد الأساسية في الجبر والتحليل الرياضي.

1. تحديد القيم المحظورة (أو القيم المطردة): هذه القيم هي تلك التي تسبب قيماً غير معرفة أو غير مقبولة في الدالة. في الحالة الحالية، القيم المحظورة هي تلك التي تجعل المقام يساوي الصفر، حيث لا يمكن تقسيم على الصفر. لحل هذه المعادلة، نستخدم قاعدة تحليل الجذور، حيث نبحث عن الأعداد التي تجعل المعادلة $x^2+6x+8=0$ صحيحة. باستخدام العوامل الأساسية، يمكننا الوصول إلى الجذور $x=-4$ و $x=-2$. لذا، هذه القيم هي القيم المحظورة في النطاق.

2. تحديد المجال الباقي: بعد تحديد القيم المحظورة، نتحقق من أن الدالة معرفة لجميع القيم الأخرى للمتغير $x$. في هذه الحالة، الدالة هي كسر، وتكون معرفة لجميع الأعداد الحقيقية باستثناء القيم المحظورة.

لذا، المجال الذي يمكن أن يأخذه المتغير $x$ هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء $-4$ و $-2$.

للتأكد من الفهم الجيد لهذه القوانين، يجب على الطالب أن يكون على دراية بالجذور، والتقسيم على الصفر، والتعبيرات الجبرية الأساسية. الفهم الجيد لهذه القوانين يساعد في حل مجموعة متنوعة من المسائل الرياضية، بما في ذلك حساب المجالات للدوال الرياضية.