مجال دالة الجذر: التحقق والحساب (مسألة رياضيات)

الدالة المعطاة هي
$h(x) = \frac{3x – 1}{\sqrt{x – 5}}.$

لحساب المجال، نحتاج إلى مراعاة القيم الممكنة للمتغير $x$ التي يمكن أن تجعل الدالة معرفة. في هذه الحالة، نلاحظ أن المقام لا يمكن أن يكون صفرًا، لأن ذلك سيؤدي إلى تقسيم على الصفر، مما يعني أن $x – 5$ يجب أن يكون موجبًا وغير صفري. لذا، يجب أن يكون $x – 5 > 0$ لأن الجذر لا يمكن أن يكون سالبًا.

حل المعادلة $x – 5 > 0$ يعطينا:
$x > 5.$

بالتالي، مجال الدالة $h(x)$ هو جميع الأعداد الحقيقية $x$ التي تكون أكبر من 5. يُمكننا تعبير ذلك رياضيًا كالتالي:
$\text{مجال } h(x): x > 5.$

لحساب مجال الدالة $h(x) = \frac{3x – 1}{\sqrt{x – 5}}$، نستخدم القوانين الأساسية للجذور والكسور في الجبر. الهدف هو تحديد القيم المسموح بها لمتغير $x$ حيث تكون الدالة معرفة ومنطبقة.

1. قانون الجذور: في الجذور، لا يمكن أن يكون المقام (الجذر) سالبًا أو يساوي الصفر. لذا، نحتاج إلى التأكد من أن $x – 5$ في المقام ليس سالبًا أو يساوي الصفر.

2. قانون الكسور: في كسور الدوال، لا يمكن أن يكون المقام يساوي الصفر. لأن ذلك سيؤدي إلى تعريف الكسر بالصفر، الأمر الذي لا يمكن تحديده.

الآن، دعونا نطبق هذه القوانين على الدالة $h(x)$:

لتحديد مجال الدالة، نبدأ بالتحقق من الشرط الأساسي للجذر:
$x – 5 > 0$
هذا الشرط يأتي من تحت الجذر، حيث لا يمكن أن يكون قيمة تحت الجذر سالبة أو تساوي الصفر.

نحل المعادلة التالية للعثور على قيم متغير $x$:
$x – 5 > 0$
$x > 5$

هكذا، يكون مجال الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية $x$ التي تكون أكبر من 5.
$\text{مجال } h(x): x > 5$

باختصار، الحل يعتمد على قوانين الجذور والكسور في الجبر، ويتمثل في التأكد من أن المقام في الجذر وفي الكسر لا يساوي الصفر ولا يكون سالبًا.