متعدد معادلة الجذور المتقاربة (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد متعدد ذو قيمة X يمكن استخدامه في معاملات متعدد الحدود للدرجة X للحصول على معادلة جذرية تحتوي على $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ كجذر. لنقم بذلك:

لنفترض أن الجذر المطلوب هو $\sqrt{2} + \sqrt{3}$، فنعرف أنه إذا كان الجذر هو هذا، فإن $\sqrt{2} – \sqrt{3}$ أيضًا جذر للمعادلة، لأننا نعرف أن الجذور للمعادلات ذات العوامل الرئيسية يكونون متباينين، وبالتالي نقوم بإضافة $(\sqrt{2} – \sqrt{3})$ كجذر آخر للمعادلة.

الخطوة الأولى: نقوم بحساب المتعدد للجذرين المعطيين:
$(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3}) = 2 – 3 = -1.$

الخطوة الثانية: نقوم بإنشاء المعادلة باستخدام الجذور المعطاة:
$(x – (\sqrt{2} + \sqrt{3}))(x – (\sqrt{2} – \sqrt{3})) = (x – \sqrt{2} – \sqrt{3})(x – \sqrt{2} + \sqrt{3})$

الخطوة الثالثة: نقوم بتوسيع المعادلة:
\begin{align*}
&= x^2 – x\sqrt{2} + x\sqrt{3} – \sqrt{2}x + 2 – \sqrt{3}x – \sqrt{2}x + \sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{2}\sqrt{3} – 3\
&= x^2 – 2x\sqrt{2} – 2x\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\sqrt{3} – 1.
\end{align*}

الخطوة الرابعة: نقوم بمطابقة المعادلة بحيث يكون المعامل الأول للترم الأعلى هو 1، بما أن المعادلة الناتجة هي متعدد ذو قيمة X، لذلك نقوم بتعيين $x^2$ إلى 1، ومن ثم نحصل على:
$x^2 – 2x\sqrt{2} – 2x\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\sqrt{3} – 1 = 0.$

الآن، بالمقارنة مع المتعدد، نجد أنه يجب أن يكون $X = 2$.

في هذه المسألة، نحن نبحث عن متعدد لمعادلة من الدرجة $X$ يحتوي على جذرين معقدين متقاربين، وهما $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ و $\sqrt{2} – \sqrt{3}$.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. ضرب الجذور: قاعدة الضرب تنطبق على جذور الأعداد، حيث إذا كانت $a$ و $b$ عددين حقيقيين، فإن $(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$. هذا القانون يساعدنا في حساب المتعدد.

2. تكوين المعادلة: عندما نعرف الجذور، نستخدمها لتكوين المعادلة. إذا كانت $\alpha$ و $\beta$ هما جذور لمعادلة، فإن $(x – \alpha)(x – \beta) = 0$ تكوّن المعادلة.

3. تحليل الأعداد المعقدة: نستخدم معرفتنا بخصائص الجذور لتحليل الأعداد المعقدة وتحويلها إلى معادلات بسيطة.

الآن، نبدأ بحل المسألة:

أولاً، نقوم بضرب الجذور $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ و $\sqrt{2} – \sqrt{3}$:
$(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3}) = 2 – 3 = -1.$

ثانياً، نستخدم هذا الناتج لتكوين المعادلة:
$(x – (\sqrt{2} + \sqrt{3}))(x – (\sqrt{2} – \sqrt{3})) = (x – \sqrt{2} – \sqrt{3})(x – \sqrt{2} + \sqrt{3})$

ثالثاً، نقوم بتوسيع المعادلة:
\begin{align*}
&= x^2 – x\sqrt{2} + x\sqrt{3} – \sqrt{2}x + 2 – \sqrt{3}x – \sqrt{2}x + \sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{2}\sqrt{3} – 3\
&= x^2 – 2x\sqrt{2} – 2x\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\sqrt{3} – 1.
\end{align*}

رابعاً، نضع المعادلة بالشكل القياسي حيث المعامل الأول للترم الأعلى هو 1:
$x^2 – 2x\sqrt{2} – 2x\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\sqrt{3} – 1 = 0.$

بمقارنة المتعدد مع المعادلة، نجد أن $X = 2$.

هذه القوانين والخطوات تساعدنا في فهم العلاقات بين الجذور وتكوين المعادلات التي تحتوي عليها، وتُستخدم في حل العديد من المسائل الرياضية المعقدة.