كيفية حل معادلات خطية بقيود: درس المثال العملي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي كما يلي:

نحن بحاجة إلى إيجاد قيمة محددة ل $k$ التي تجعل المعادلة التالية لا يمكن حلها للمتغيرات $t$ و $s$:

$\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ k \end{pmatrix}$

لحل هذه المسألة، سنقوم بتعيين الجوانب اليسرى واليمنى للمعادلة بشكل منفصل، ثم سنحاول مقارنة القيم المختلفة للمعاملات المشتركة.

الجانب الأيسر للمعادلة:

$\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}$

يمكن تبسيطه ليكون:

$\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4t \\ -7t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 4t \\ 5 – 7t \end{pmatrix}$

الجانب الأيمن للمعادلة:

$\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ k \end{pmatrix}$

يمكن تبسيطه ليكون:

$\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -s \\ ks \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – s \\ -2 + ks \end{pmatrix}$

الآن، يجب أن تكون النقطتين متساويتين، لذا نقارن الإدخالات المختلفة لكل نقطة:

1. لمقارنة الإدخال الأول: $3 + 4t = 2 – s$
2. لمقارنة الإدخال الثاني: $5 – 7t = -2 + ks$

لجعل المعادلة لا يمكن حلها، يجب أن يكون هناك تضاد بين المعاملات. بالتالي، نضع المعاملين $t$ و $s$ على جانب واحد والثوابت على الجانب الآخر.

1. للمعاملات: $4t + s = 3 – 2$
2. للمعاملات: $-7t – ks = -2 – 5$

تبسيط المعادلات:

1. $4t + s = 1$
2. $-7t – ks = -7$

الآن، إذا كنا نرغب في جعل المعادلة غير قابلة للحل، فإننا بحاجة إلى تضاد بين المعاملات. يمكننا أن نلاحظ أنه إذا جعلنا المعاملات المتعلقة بـ $t$ و $s$ متناسبة بشكل مناسب، يمكن أن نحقق هذا التضاد. لذا، إذا قمنا بجعل $k = -7$، فإن المعادلة ستكون غير قابلة للحل.

إذاً، القيمة التي تجعل المعادلة لا يمكن حلها هي $k = -7$.

لحل المسألة، نحتاج إلى مطابقة الجانب الأيسر للمعادلة مع الجانب الأيمن ومقارنة المعاملات المتشابهة. سنستخدم في الحل قوانين الجبر الخطي، بما في ذلك قوانين جمع النقط وضرب النقط بعدد.

المعادلة التي نعمل عليها هي:

$\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ k \end{pmatrix}$

باستخدام قوانين جمع النقط، نقوم بجمع الأجزاء المتشابهة من كلا الجانبين:

1. للجانب الأيسر: $3 + 4t$، $5 – 7t$
2. للجانب الأيمن: $2 – s$، $-2 + ks$

المعادلة الأولى: $3 + 4t = 2 – s$
المعادلة الثانية: $5 – 7t = -2 + ks$

الآن، نحن بحاجة إلى توازن المعادلتين للحصول على القيم المطلوبة للمعاملات $t$ و $s$. بمعنى آخر، يجب أن يتوافق المعامل العددي لكل من الجانبين.

1. $4t + s = 3 – 2$
2. $-7t – ks = -2 – 5$

الآن، يمكننا استخدام هذه المعادلات لحساب القيم المطلوبة. ومن هنا، نعمل على إيجاد قيمة $k$ التي تجعل المعادلة لا يمكن حلها. يمكننا القول أننا نريد أن نضع $t$ و $s$ على جانب واحد والثوابت على الجانب الآخر.

لذلك، إذا كنا نريد عدم وجود حل، يجب أن نجعل المعاملات ذات الحروف تتعارض. وبما أن $t$ و $s$ لا يمكن تغييرهما بالفعل، يجب تغيير قيمة $k$.

لذا، عندما نضع $t$ و $s$ على جانب واحد والثوابت على الجانب الآخر، نحصل على:

1. $4t + s = 1$
2. $-7t – ks = -7$

لجعل المعادلة لا يمكن حلها، يجب أن يكون هناك تعارض بين المعاملات. بالنظر إلى المعادلة الثانية، يبدو أنه من المنطقي أن نختار $k = -7$ لتسبب تعارضاً مع المعاملات الخاصة بـ $t$ وهكذا لا يكون هناك حل للمعادلة.

باختصار، قوانين الجبر الخطي التي استخدمناها تتضمن قوانين جمع وضرب النقط، وتعادل المعادلات، وحل المعادلات الخطية. من خلال تطبيق هذه القوانين بشكل دقيق، استطعنا التوصل إلى القيمة المطلوبة لـ $k$ التي تجعل المعادلة لا تحتوي على حل.