كيفية حساب الانحراف المعياري بدقة

الانحراف المعياري هو أحد المقاييس الإحصائية الأساسية التي تستخدم في تحليل البيانات لقياس درجة التشتت أو التباين بين القيم في مجموعة بيانات. يتيح لنا هذا المقياس معرفة مدى تباعد أو تقارب البيانات عن المتوسط الحسابي، مما يساعد في فهم توزيعات البيانات بشكل أعمق. في هذا المقال، سنتناول شرحًا تفصيليًا لكيفية حساب الانحراف المعياري باستخدام خطوات دقيقة وأمثلة تطبيقية.

تعريف الانحراف المعياري

الانحراف المعياري هو مقياس إحصائي يعكس مدى تشتت البيانات حول المتوسط الحسابي (المتوسط العام) لمجموعة معينة. كلما كان الانحراف المعياري أكبر، كلما كانت القيم بعيدة عن المتوسط، وبالتالي فإن تشتت البيانات يكون كبيرًا. أما إذا كان الانحراف المعياري صغيرًا، فهذا يعني أن البيانات قريبة جدًا من المتوسط.

أهمية الانحراف المعياري

1. تحليل التشتت: يستخدم الانحراف المعياري لقياس درجة تشتت البيانات. يعد هذا المقياس أساسيًا في التحليل الإحصائي لفهم تنوع البيانات.

2. مقارنة البيانات: يتيح لنا مقارنة مجموعة من البيانات بمجموعة أخرى بناءً على مدى تشتت البيانات في كل منهما.

3. القرار الاستثماري: في مجالات مثل الاقتصاد والاستثمار، يعتبر الانحراف المعياري مقياسًا مهمًا لفهم المخاطر والتقلبات.

كيفية حساب الانحراف المعياري

لحساب الانحراف المعياري، نحتاج أولاً إلى حساب المتوسط الحسابي للمجموعة، ثم حساب الفروق بين كل قيمة في البيانات والمتوسط، وبعدها نقوم بتربيع هذه الفروق، وجمعها، ثم قسمة الناتج على عدد البيانات (أو عدد البيانات ناقص واحد إذا كانت العينة فقط) وأخيرًا أخذ الجذر التربيعي للناتج.

الخطوة الأولى: حساب المتوسط الحسابي

المتوسط الحسابي هو مجموع جميع القيم في مجموعة البيانات مقسومًا على عدد هذه القيم. يمكن حسابه باستخدام الصيغة:

$$\text{المتوسط الحسابي} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

حيث:

• $x_i$ هو القيمة الفردية في البيانات.

• $n$ هو عدد القيم في مجموعة البيانات.

الخطوة الثانية: حساب الفروق بين كل قيمة والمتوسط

بعد حساب المتوسط الحسابي، نقوم بحساب الفرق بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط. هذا الفرق يعكس مقدار التباين بين كل قيمة والمتوسط.

الخطوة الثالثة: تربيع الفروق

بعد حساب الفروق بين كل قيمة والمتوسط، نقوم بتربيع كل منها للحصول على القيم الموجبة. عملية التربيع تجعل الفروق السالبة تصبح إيجابية وتزيد من تأثير القيم البعيدة عن المتوسط.

$$(x_i – \mu)^2$$

الخطوة الرابعة: حساب المتوسط المربع للفروق

بعد تربيع الفروق، نقوم بحساب المتوسط لهذه القيم المربعة. بالنسبة للانحراف المعياري للعينة، نقسم مجموع القيم المربعة على $n – 1$ بدلاً من $n$ كما نفعل في حساب المتوسط الموزون.

$$\text{المتوسط المربع للفروق} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \mu)^2}{n – 1}$$

الخطوة الخامسة: أخذ الجذر التربيعي

أخيرًا، نأخذ الجذر التربيعي للمتوسط المربع للفروق للحصول على الانحراف المعياري.

$$\text{الانحراف المعياري} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \mu)^2}{n – 1}}$$

مثال تطبيقي لحساب الانحراف المعياري

لنأخذ مثالًا عمليًا على مجموعة بيانات بسيطة:

البيانات: 5، 8، 12، 15، 20

1. حساب المتوسط الحسابي:

$$\text{المتوسط الحسابي} = \frac{5 + 8 + 12 + 15 + 20}{5} = \frac{60}{5} = 12$$

2. حساب الفروق بين القيم والمتوسط:

• $5 – 12 = -7$

• $8 – 12 = -4$

• $12 – 12 = 0$

• $15 – 12 = 3$

• $20 – 12 = 8$

3. تربيع الفروق:

• $(-7)^2 = 49$

• $(-4)^2 = 16$

• $0^2 = 0$

• $3^2 = 9$

• $8^2 = 64$

4. حساب المتوسط المربع للفروق:

$$\text{المتوسط المربع للفروق} = \frac{49 + 16 + 0 + 9 + 64}{5 – 1} = \frac{138}{4} = 34.5$$

5. أخذ الجذر التربيعي:

$$\text{الانحراف المعياري} = \sqrt{34.5} \approx 5.87$$

أنواع الانحراف المعياري

هناك نوعان من الانحراف المعياري بناءً على نوع البيانات:

1. الانحراف المعياري للعينة: يستخدم هذا عندما نعمل مع عينة من البيانات بدلاً من مجموعة بيانات كاملة. في هذه الحالة، نقسم على $n – 1$ بدلاً من $n$.

2. الانحراف المعياري للمجتمع: يستخدم هذا عندما نعمل مع مجموعة بيانات كاملة أو عينة تمثل المجتمع بشكل كامل. في هذه الحالة، نقسم على $n$ بدلاً من $n – 1$.

استخدامات الانحراف المعياري

1. الاحتمالات والإحصاء: يعد الانحراف المعياري مقياسًا أساسيًا في دراسة التوزيعات الاحتمالية، مثل التوزيع الطبيعي، والذي يمثل غالبية الظواهر الطبيعية.

2. تحليل البيانات المالية: في مجال المال والاستثمار، يُستخدم الانحراف المعياري لقياس تقلبات الأسعار والأرباح في الأسواق المالية.

3. البحوث العلمية: في مجالات مثل الطب والهندسة، يستخدم الباحثون الانحراف المعياري لفهم التباين في التجارب والنتائج.

4. إدارة المخاطر: في تحليل المخاطر، يُستخدم الانحراف المعياري لتحديد مستوى المخاطر في الاستثمارات أو الأنشطة الاقتصادية.

ملاحظات هامة عند حساب الانحراف المعياري

• التوزيع الطبيعي: في التوزيعات الطبيعية، يُتوقع أن يقع حوالي 68% من القيم ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط، و95% ضمن انحرافين معياريين، و99.7% ضمن ثلاثة انحرافات معيارية.

• الانحراف المعياري الصغير: إذا كان الانحراف المعياري صغيرًا، فإن البيانات تكون متمركزة حول المتوسط، مما يعني أن هناك تباينًا ضئيلًا.

• الانحراف المعياري الكبير: إذا كان الانحراف المعياري كبيرًا، فإن البيانات تكون موزعة على نطاق أوسع، مما يعني أن هناك تباينًا كبيرًا.

الخلاصة

الانحراف المعياري هو أداة قوية في الإحصاء لتحليل تشتت البيانات وتباينها. من خلال معرفة كيفية حسابه وفهمه بشكل دقيق، يمكننا تطبيقه في مجموعة متنوعة من المجالات، سواء في الاقتصاد، أو الطب، أو أي مجال يتطلب تحليل البيانات وفهم مدى تباينها.