كيفية حساب أقصى قيمة لـ c c c في دالة رباعية؟ (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

ما هو القيمة القصوى لـ $c$ التي تتضمن القيمة 1 في نطاق الدالة $f(x) = x^2 – 5x + c$؟

حل المسألة:

للعثور على القيمة القصوى لـ $c$ التي تجعل القيمة 1 تندرج في نطاق الدالة $f(x) = x^2 – 5x + c$، يجب أولاً معرفة الشروط التي يجب تحقيقها لضمان أن القيمة 1 تكون جزءًا من نطاق الدالة.

الدالة $f(x)$ هي دالة رباعية وتمثل قمة القوس عند $x = \frac{-b}{2a}$، حيث $a$ هو معامل القوس الأولوي و $b$ هو معامل القوس الثانوي.

في هذه الحالة، $a = 1$ و $b = -5$، لذا $x$ لقمة القوس يُحسب بواسطة $x = \frac{-(-5)}{2 \times 1} = \frac{5}{2}$.

الآن، لنحسب قيمة $f(x)$ في $x = \frac{5}{2}$:

$f\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 – 5\left(\frac{5}{2}\right) + c$
$f\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{25}{4} – \frac{25}{2} + c$
$f\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{25 – 50}{4} + c$
$f\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{25}{4} + c$

نعلم أنه عندما يكون $c$ كبيرًا، يزيد المُقام وبالتالي تزداد القيمة الإجمالية للتعبير $-\frac{25}{4} + c$، وبالتالي يزداد نطاق الدالة. لكن عندما يكون $c$ صغيرًا، فإنه سيقلل من القيمة الإجمالية للتعبير وبالتالي ينخفض نطاق الدالة.

لضمان أن القيمة 1 تندرج في نطاق الدالة، يجب أن يكون الحد الأدنى للتعبير $-\frac{25}{4} + c$ يساوي 1، لذا:

$-\frac{25}{4} + c \geq 1$

الآن، دعونا نحسب قيمة $c$:

$c \geq 1 + \frac{25}{4}$
$c \geq 1 + 6.25$
$c \geq 7.25$

لذا، القيمة القصوى لـ $c$ التي تجعل القيمة 1 تندرج في نطاق الدالة هي 7.25.

لحل هذه المسألة، سنستخدم المفهوم الأساسي لنطاق الدالة الرباعية والشروط التي يجب تحقيقها لضمان أن قيمة معينة تكون جزءًا من هذا النطاق. هنا الخطوات بتفصيل أكثر والقوانين المستخدمة:

1. النطاق الرباعي للدالة: نطاق الدالة الرباعية يعبر عن مجموعة القيم التي يمكن أن تأخذها الدالة. في حالة الدالة $f(x) = x^2 – 5x + c$، النطاق هو مجموعة جميع القيم التي يمكن أن تتخذها الدالة.

2. القاعدة الأساسية للنطاق الرباعي: في الحالة العامة، يمكن لدالة رباعية أن تأخذ جميع القيم الحقيقية. ولكن، بالنظر إلى صيغة الدالة $f(x) = x^2 – 5x + c$، فإنه يمكن للمعامل $c$ أن يؤثر على موقع وارتفاع قمة القوس.

3. قاعدة القمة الأساسية: قمة القوس يمكن حسابها باستخدام الصيغة $x = \frac{-b}{2a}$، حيث $a$ و $b$ هما معاملات القوس في الصيغة القياسية للدالة الرباعية $ax^2 + bx + c$.

4. الشرط لوجود قيمة معينة في النطاق: لتحقيق أن قيمة معينة (في هذه الحالة 1) تكون جزءًا من النطاق، يجب أن تكون قيمة الدالة في أحد النقاط المفترضة أكبر من أو تساوي هذه القيمة.

الآن، نحل المسألة:

أولاً، نستخدم قاعدة القمة لحساب قمة القوس:
$x = \frac{-(-5)}{2 \times 1} = \frac{5}{2}$

ثانيًا، نستخدم قيمة $x$ لحساب قيمة الدالة $f(x)$ في هذه النقطة:
$f\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 – 5\left(\frac{5}{2}\right) + c$
$f\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{25}{4} – \frac{25}{2} + c = -\frac{25}{4} + c$

الآن، نحتاج لضمان أن $-\frac{25}{4} + c \geq 1$ حتى تكون القيمة 1 جزءًا من النطاق. لذلك:
$-\frac{25}{4} + c \geq 1$
$c \geq 1 + \frac{25}{4} = 1 + 6.25 = 7.25$

وهكذا، القيمة القصوى لـ $c$ التي تضمن أن القيمة 1 تكون جزءًا من النطاق هي 7.25.

في هذا الحل، استخدمنا المفاهيم الرياضية الأساسية مثل قاعدة القمة وشروط النطاق لحساب القيمة المطلوبة.