كيفية إيجاد قيمة a a a لتحقيق تماثل بين g ( x ) g(x) g ( x ) و g − 1 ( x ) g^{-1}(x) g − 1 ( x ) (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد القيمة المناسبة لمتغير $a$ حتى تكون $g(x)$ متساوية لعكسها $g^{-1}(x)$.

إذا كان $g(x) = f(x + a)$ ونريد أن نجد $a$ بحيث $g(x) = g^{-1}(x)$، فإن الشرط الذي يجب أن يتحقق هو $g(g^{-1}(x)) = x$ لكل $x$ في المجال المناسب.

لكن لتجنب التعقيد، نستخدم الخاصية التالية: إذا كانت $g(x) = f(x + a)$ تساوي $g^{-1}(x)$، فإن $g(g^{-1}(x)) = x$.

لذا، نعوض $g(x)$ بـ $f(x + a)$ في المعادلة $g(g^{-1}(x)) = x$ للعثور على القيمة المناسبة لـ $a$.

إذاً، $g(g^{-1}(x)) = f(f^{-1}(x + a)) = x$.

ومن خلال خاصية التكافؤ في الدالة العكسية $f(f^{-1}(x)) = x$، يمكننا أن نقول $f(f^{-1}(z)) = z$ لأي $z$ في المجال المناسب.

وبالتالي، يمكننا كتابة $f(f^{-1}(x + a)) = x$ بصورة مباشرة، حيث نستبدل $z$ بـ $x + a$، لنحصل على:

$f(f^{-1}(x + a)) = x + a = x$

الآن، يجب أن نجد القيمة المناسبة لـ $a$ من المعادلة السابقة.

$x + a = x$

لنحل لـ $a$، نطرح $x$ من الطرفين:

$a = 0$

إذاً، نجد أنه عندما تكون قيمة $a$ تساوي صفر، فإن الدالة $g(x) = f(x + a)$ ستكون متساوية لعكسها $g^{-1}(x)$.

وبالتالي، القيمة المناسبة لـ $a$ هي صفر.

لحل المسألة وإيجاد القيمة المناسبة لمتغير $a$ حتى تكون $g(x)$ متساوية لعكسها $g^{-1}(x)$، سنستخدم القوانين التالية:

1. تعريف الدالة العكسية: إذا كانت $y = f(x)$ دالة، فإن الدالة العكسية $f^{-1}(x)$ هي الدالة التي تربط القيمة $x$ بالقيمة $y$ بالطريقة العكسية لدالة $f(x)$.
2. خاصية التكافؤ بين الدالة وعكسها: إذا كانت $f(x)$ دالة، فإن $f(f^{-1}(x)) = x$ و $f^{-1}(f(x)) = x$ لكل $x$ في المجال المناسب.
3. تأثير التحولات على الدوال: تحول الدالة $f(x)$ بوحدة $a$ إلى اليمين (أي $f(x + a)$) يحرك الرسم البياني للدالة إلى اليسار بوحدة $a$ في المحور $x$.

الآن، لنبدأ في حل المسألة:

إذا كانت $g(x) = f(x + a)$ متساوية لعكسها $g^{-1}(x)$، فإننا نريد أن نجد قيمة مناسبة لـ $a$.

نبدأ بوضع المساواة $g(x) = g^{-1}(x)$ ونقوم بتطبيق هذا التساوي في شكله الأكثر تفصيلًا:

$g(x) = g^{-1}(x)$

$f(x + a) = f^{-1}(x)$

ونستخدم الخاصية التي ذكرتها أعلاه، التي تقول إن $f(f^{-1}(x)) = x$ لتحويل المعادلة إلى:

$f(f^{-1}(x + a)) = x$

لكننا نعلم أيضًا أن $f(f^{-1}(x)) = x$، لذا:

$x + a = x$

الآن، نقوم بحل المعادلة للحصول على قيمة $a$:

$a = 0$

وبالتالي، يتضح أن القيمة المناسبة لـ $a$ هي صفر.

هذا يعني أنه عندما تكون قيمة $a$ تساوي صفر، فإن الدالة $g(x) = f(x + a)$ ستكون متساوية لعكسها $g^{-1}(x)$.