كتلة متكررة لكسر $\frac{5}{7}$ (مسألة رياضيات)

نريد حساب عدد الأرقام في أصغر كتلة متكررة في توسيع عشري لكسر $\frac{5}{7}$.

نلاحظ أنه عند قسمة 5 على 7، يكون الناتج كالتالي:

نرى أن الكتلة المكررة هي 714285. يتألف هذا الكتلة من 6 أرقام، وهو أقل عدد ممكن للكتلة المتكررة. لذلك، فإن أصغر كتلة متكررة في التوسيع العشري لكسر $\frac{5}{7}$ تحتوي على 6 أرقام.

لحساب عدد الأرقام في أصغر كتلة متكررة في توسيع عشري لكسر $\frac{5}{7}$، يمكننا استخدام فكرة التقسيم الطويل.

قبل البدء في الحساب، يمكن استخدام القانون التالي:

قانون القسمة الطويلة:
عند قسمة عدد على عدد آخر، يتم تحديد الناتج والباقي. يكون الناتج هو الناتج الصحيح الذي يمكن الحصول عليه من القسمة، بينما يكون الباقي هو العدد الذي يتبقى بعد تقسيم العددين. يستخدم عادة للقسمة على الأعداد الكبيرة.

بالنسبة للكسر $\frac{5}{7}$، يمكن أن نقوم بالقسمة الطويلة كالتالي:

1. نبدأ بالقسمة: 5 ÷ 7.
2. نكتب 0 في الجزء الصحيح من الناتج ونحتفظ بالفاصلة لنحصل على التقسيم العشري.
3. نضع الرقم 7 تحت الرقم 5.
4. نبدأ في القسمة الطويلة: 5 ÷ 7 = 0 وباقي 5.
5. نكتب 0 في الناتج (الجزء الصحيح)، وننتقل إلى الباقي.
6. نضع صفرا قبل الفاصلة ونضع الرقم 5 عند يسارها.
7. نبدأ في القسمة الطويلة مرة أخرى: 50 ÷ 7 = 7 وباقي 1.
8. نضع الناتج (7) إلى اليمين من الصفر في الناتج السابق.
9. نضع 1 تحت الرقم 5.
10. نكتب 7 في الناتج (الجزء الصحيح)، ونضع الباقي (1) على يمين الفاصلة.
11. نضع الفاصلة ونكتب 0 قبلها.
12. نضع الرقم 10 (الباقي) تحت الرقم 5.
13. نبدأ في القسمة مرة أخرى: 10 ÷ 7 = 1 وباقي 3.

هكذا تكمل العملية حتى الحصول على الكتلة المتكررة 714285 ونرى أنها تتكرر.

باختصار، قمنا بتطبيق قوانين القسمة الطويلة للقسمة 5 ÷ 7 للحصول على توسيع عشري لكسر $\frac{5}{7}$، وتمثل هذه العملية الناتج الذي يتكرر في التوسيع العشري.