فهم سلوك التسلسل الفيبوناتشي في القسمة (مسألة رياضيات)

التسلسل الفيبوناتشي هو التسلسل التالي: 1، 1، 2، X، 5، …
حيث تكون العناصر الأولى والثانية هما 1، وكل عنصر بعد ذلك هو مجموع العنصرين السابقين. نريد معرفة باقي قسمة العنصر رقم 100 من التسلسل على 8.
إذا كنا نعرف أن الجواب على السؤال السابق هو 3، فما هي قيمة المتغير المجهول X؟

للحل:

نلاحظ أن باقي قسمة كل عنصر في التسلسل على 8 يتبع نمطاً معيناً. لفهم هذا النمط، لنقم بحساب أولى عناصر التسلسل:

1 % 8 = 1
1 % 8 = 1
2 % 8 = 2
3 % 8 = 3
5 % 8 = 5
…

نجد أن العناصر الأولى في التسلسل تأخذ قيم باقي القسمة المتتالية على 8. الآن، نحاول فهم النمط والعلاقة بين الأعداد في التسلسل وباقي القسمة على 8.

نرى أنه كلما تقدمنا في التسلسل، يبدأ الباقي في الاختلاف. يبدو أن الباقي يتكرر كل 6 أعداد، وهذا يوحي بأن لدينا دورة منتظمة.

لحساب العنصر رقم 100، نحتاج إلى معرفة ما إذا كان يندرج ضمن الدورة أم لا. لنقم بحساب باقي القسمة للأعداد من 1 إلى 6:

1 % 8 = 1
1 % 8 = 1
2 % 8 = 2
3 % 8 = 3
5 % 8 = 5
1 % 8 = 1

نرى أن العنصر رقم 100 في نفس الدورة التي تبدأ بالعنصر 1. إذاً، نتوقع أن يكون باقي القسمة للعنصر رقم 100 هو نفس الباقي للعنصر رقم 4 الذي يأتي بعد العنصر X في التسلسل.

العنصر الرابع في التسلسل هو 3، والباقي عند قسمته على 8 هو 3.
ومن الشرط الأول، نعرف أن باقي قسمة العنصر الرابع هو 3.

إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي 3.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم سلوك التسلسل الفيبوناتشي وكيفية تأثير ذلك على باقيات القسمة عند قسمة أعداد التسلسل على عدد معين، وهو 8 في هذه الحالة.

القانون الأساسي الذي نستخدمه هو قانون باقي القسمة عند جمع الأعداد. عندما نقوم بجمع أعداد في التسلسل الفيبوناتشي ونقسمها على 8، يجب أن نلاحظ أن الباقيات ستتغير بنمط دوري.

نظرًا لأن الفيبوناتشي يبدأ بالأعداد 1 و 1 وبعدها يتبع نمط الجمع، فإننا نستنتج أن الباقيات ستكون كالتالي:

1 % 8 = 1
1 % 8 = 1
2 % 8 = 2
3 % 8 = 3
5 % 8 = 5

نرى أن كل عنصر في التسلسل يأخذ باقيًا يتغير بشكل دوري كلما زادنا في التسلسل. وهذا يوحي بأن هناك دورة تتكرر في باقيات القسمة.

الدورة تتكرر كل 6 أعداد، حيث نرى أن العنصر السادس يعيد الباقي نفسه كالعنصر الأول.

لحساب العنصر رقم 100، نحتاج إلى معرفة ما إذا كان يندرج ضمن هذه الدورة. بما أن 100 ÷ 6 = 16 والباقي 4، فإن العنصر رقم 100 يأتي في نفس الدورة التي يأتي فيها العنصر الرابع.

باقي القسمة عند قسمة العنصر الرابع (الذي هو X) على 8 هو 3 وهو المطلوب والذي تم تحديده في السؤال.

لذلك، قيمة المتغير المجهول X هي 3.

في الحل استخدمنا قوانين الحساب البسيطة مثل قانون الجمع وقوانين القسمة لفهم نمط باقيات القسمة عند جمع أعداد التسلسل وقسمتها على 8.