فارق متتابعتين حسابيتين (مسألة رياضيات)

تكون البداية لكل من المتتابعات الحسابية A و B هي 30، وتكون الفارق الشائع بينهما 10، حيث تزداد المتتابعة A بينما تنقص المتتابعة B. نريد حساب القيمة المطلقة للفرق بين العنصر الـ 51 في المتتابعة A والعنصر الـ 51 في المتتابعة B.

لحساب العنصر الـ 51 في أي متتابعة حسابية، نستخدم الصيغة التالية:

$a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$

حيث:

• $a_n$ هو العنصر رقم $n$.
• $a_1$ هو العنصر الأول في المتتابعة.
• $d$ هو الفارق الشائع بين الأعداد.
• $n$ هو الموقع الذي نريد حساب العنصر الخاص به.

لحساب العنصر الـ 51 في كل من المتتابعتين، نقوم بالتالي:

للمتتابعة A:
$a_{51}^A = 30 + (51 – 1) \times 10 = 30 + 50 \times 10 = 30 + 500 = 530$

للمتتابعة B:
$a_{51}^B = 30 + (51 – 1) \times (-10) = 30 + 50 \times (-10) = 30 – 500 = -470$

الآن، نحسب القيمة المطلقة للفرق بين العنصر الـ 51 في المتتابعة A والعنصر الـ 51 في المتتابعة B:

$|a_{51}^A – a_{51}^B| = |530 – (-470)| = |530 + 470| = |1000| = 1000$

إذاً، القيمة المطلقة للفرق بين العنصر الـ 51 في المتتابعة A والعنصر الـ 51 في المتتابعة B هي 1000.

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام قوانين المتتابعات الحسابية ومفهوم القيم المطلقة. القوانين المستخدمة تشمل:

1. صيغة العنصر العام (General Term Formula):
   العنصر العام في متتابعة حسابية تعطى بالصيغة:
   $a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$
   حيث:

   • $a_n$ هو العنصر رقم $n$.
   • $a_1$ هو العنصر الأول في المتتابعة.
   • $d$ هو الفارق الشائع بين الأعداد.
   • $n$ هو الموقع الذي نريد حساب العنصر الخاص به.

2. القيم المطلقة (Absolute Value):
   القيمة المطلقة لعدد حقيقي $x$ تعطى بالصيغة:
   $|x| = \begin{cases} x, & \text{إذا كان } x \geq 0 \\ -x, & \text{إذا كان } x < 0 \end{cases}$
   وهي تعطي القيمة الموجبة للعدد سواء كان موجبًا أو سالبًا.

بناءً على البيانات المعطاة في المسألة، لدينا:

• العنصر الأول في كل من المتتابعتين A و B هو 30.
• الفارق الشائع بين الأعداد في كلتا المتتابعتين هو 10.
• نريد حساب العنصر رقم 51 في كل من المتتابعتين.

لذا، نستخدم الصيغة العامة لحساب العناصر في المتتابعات الحسابية:

للمتتابعة A:
$a_{51}^A = 30 + (51 – 1) \times 10 = 30 + 50 \times 10 = 530$

للمتتابعة B:
$a_{51}^B = 30 + (51 – 1) \times (-10) = 30 + 50 \times (-10) = -470$

ثم نستخدم مفهوم القيمة المطلقة لحساب الفرق بين العناصر:

$|a_{51}^A – a_{51}^B| = |530 – (-470)| = |530 + 470| = |1000| = 1000$

وبالتالي، القيمة المطلقة للفرق بين العنصر الـ 51 في المتتابعة A والعنصر الـ 51 في المتتابعة B هي 1000.