عدد المصافحات في المؤتمر (مسألة رياضيات)

عدد المصافحات في المؤتمر السنوي للتخريب هو 425.

لحل هذه المسألة، دعنا نبدأ بحساب عدد المصافحات بين الجرملينز (gremlins) أولاً. كل جرملين يصافح كل الجرملينز الآخرين ما عدا نفسه. إذا كان هناك 20 جرملين، فإن كل جرملين يصافح 19 جرملينًا آخرين.

عدد المصافحات بين الجرملينز = 20 × 19 / 2 = 190.

الآن، بالنسبة للإمبس (imps)، فإن كل إمب يصافح كل جرملين ولكن لا يصافح الإمب نفسه ولا يصافح بعضهم البعض. وبما أن هناك 15 إمب، فإن كل إمب يصافح 20 جرملين.

عدد المصافحات بين الإمبس والجرملينز = 15 × 20 = 300.

إجمالي عدد المصافحات هو مجموع عدد المصافحات بين الجرملينز وعدد المصافحات بين الإمبس والجرملينز:

المصافحات الإجمالية = 190 (بين الجرملينز) + 300 (بين الإمبس والجرملينز) = 490.

ولكن يجب أن نلاحظ أن كل مصافحة تحصل مرتين (مرة واحدة لكل شخص يمسك بيد الآخر)، لذلك نقسم الناتج على 2 للحصول على العدد الفعلي للمصافحات:

المصافحات الإجمالية الفعلية = 490 / 2 = 245.

لكن هناك أيضًا مصافحات بين الإمبس فقط، وهذا يمثل 15 امب ولكنهم لا يتصافحون.

عدد مصافحات الإمبس = 15 × 14 / 2 = 105.

إذاً، العدد الإجمالي لعدد المصافحات = 245 + 105 = 350.

وبالتالي، عدد المصافحات الكلي في المؤتمر السنوي للتخريب هو 350.

لحل المسألة بشكل مفصل، دعنا نبدأ بتحليل الوضع واستخدام القوانين الرياضية المناسبة.

أولاً، دعنا نستخدم القاعدة الأساسية لعدد المصافحات: إذا كان هناك $n$ أشخاص يرغبون في التصافح، فإن عدد المصافحات يمكن حسابه باستخدام العلاقة $\frac{{n \times (n – 1)}}{2}$.

لنقوم بتحليل الموقف:

1. المصافحات بين الجرملينز: هنا يمكن لكل جرملين أن يصافح كل الجرملينز الآخرين مرة واحدة.
   عدد المصافحات بين الجرملينز = $\frac{{20 \times (20 – 1)}}{2} = \frac{{20 \times 19}}{2} = 190$.

2. المصافحات بين الإمبس والجرملينز: كل إمب يصافح جميع الجرملينز مرة واحدة.
   عدد الإمبس = 15.
   عدد المصافحات بين كل إمب والجرملينز = 15 × 20 = 300.

3. المصافحات بين الإمبس: لا يتم المصافحة بين الإمبس.

بالتالي، إجمالي عدد المصافحات = عدد المصافحات بين الجرملينز + عدد المصافحات بين الإمبس والجرملينز = 190 + 300 = 490.

لكن نحن قد عدنا عدد المصافحات مرتين، وذلك لأن كل مصافحة تُحتسب مرتين (مرة لكل من المصافحين). لذا، يجب علينا تقسيم هذا العدد على 2 للحصول على العدد الفعلي للمصافحات.

المصافحات الفعلية = 490 ÷ 2 = 245.

إضافة إلى ذلك، لا يحدث أي مصافحات بين الإمبس لأنهم لا يصافحون بعضهم البعض.

بالتالي، الإجمالي النهائي لعدد المصافحات هو 245.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون عدد المصافحات لمجموعة من الأشخاص.
2. قانون الجمع والضرب لحساب عدد المصافحات بين مجموعات مختلفة من الأشخاص.
3. قانون التكرار والتمييز في الحساب.

باستخدام هذه القوانين، يمكننا حساب العدد الكلي للمصافحات بدقة وبشكل دقيق ومفصل.