عدد التشكيلات الأساسية لفريق الغرونترز (مسألة رياضيات)

يعمل المدرب غرنت على تجهيز التشكيلة الأساسية المكونة من 5 لاعبين لفريقه في كرة السلة، والذي يُعرف بفريق “الغرونترز”. يوجد 12 لاعبًا في الفريق. من بينهم، لاعبان هما إيس وزيبو، اللذان يعتبران نجمين في الدوري، وبالتالي سيكونان بالتأكيد في التشكيلة الأساسية. الآن، كم عدد التشكيلات الأساسية المختلفة الممكنة؟

لنحسب عدد الطرق الممكنة لاختيار 3 لاعبين من بين الـ 10 المتبقين في الفريق. هذا يُمثل مشكلة معروفة باسم مشكلة اختيار مجموعة فرعية.

نحن بحاجة إلى حساب الجملة النوعية $C(n, k)$ والتي تمثل عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة فرعية من $k$ عناصر من بين مجموعة تحتوي على $n$ عنصر.

الصيغة لحساب $C(n, k)$ هي:

$C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n – k)!}}$

حيث $n!$ تعني “عامليال”، وهو المنتج من جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى $n$.

في حالتنا، $n = 10$ (عدد اللاعبين المتبقين بعد اختيار اللاعبين النجوم) و $k = 3$ (عدد اللاعبين الذين يجب اختيارهم لاكتمال التشكيلة الأساسية).

إذاً، نحتاج إلى حساب $C(10, 3)$:

$C(10, 3) = \frac{{10!}}{{3! \cdot (10 – 3)!}}$
$= \frac{{10!}}{{3! \cdot 7!}}$
$= \frac{{10 \times 9 \times 8}}{{3 \times 2 \times 1}}$
$= \frac{{720}}{{6}}$
$= 120$

بالتالي، هناك 120 تشكيلة أساسية مختلفة ممكنة لفريق “الغرونترز”.

لحل المسألة، نستخدم مفهوم الاحتمالات وقوانين الاحتمالات المتعلقة بالترتيب والتجميع.

1. قانون الجمع (أو مبدأ الجمع):
   يُستخدم عندما يكون لدينا اختيار بين عدة خيارات مستقلة. إذا كان لدينا $m$ طريقة لعمل شيء و $n$ طريقة لعمل شيء آخر، فإن إجمالي عدد الطرق لعمل أحدهما هو $m + n$.

2. قانون الضرب (أو مبدأ الضرب):
   يُستخدم عندما نريد حساب الاحتمالات لسلسلة من الأحداث المستقلة. إذا كان هناك $m$ طريقة لعمل شيء وبعد ذلك هناك $n$ طريقة لعمل شيء آخر، فإن الإجمالي الكلي للطرق لعمل كلاهما هو $m \times n$.

3. قانون الاحتمالات في التجميع (Permutations):
   يُستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب مجموعة معينة من العناصر. إذا كان لدينا مجموعة مكونة من $n$ عنصر، فإن عدد الترتيبات المختلفة لهذه المجموعة هو $n!$ حيث $n!$ تعني “عامليال”.

في المسألة التي قُدِمت، نستخدم قانون الاحتمالات في التجميع لحساب عدد التشكيلات المختلفة لفريق الغرونترز.

نحن نعلم أن لدينا 10 لاعبين آخرين للاختيار من بينهم (12 لاعبين بالمجموع – 2 نجوم). ونحن بحاجة إلى اختيار 3 من هؤلاء اللاعبين لإكمال التشكيلة الأساسية، لكن ترتيب اللاعبين في التشكيلة لا يهم.

من هنا، نستخدم قانون الاحتمالات في التجميع لحساب عدد الترتيبات المختلفة لاختيار 3 لاعبين من بين 10 لاعبين متبقين. هذا يُعطينا عدد الترتيبات المختلفة لاختيار التشكيلة الأساسية.

بما أننا لا نهتم بترتيب اللاعبين في التشكيلة، فإننا نستخدم مفهوم الجمع لحساب عدد التشكيلات الممكنة، دون الاهتمام بترتيب اللاعبين داخل التشكيلة.

هذا هو السبب في استخدام القانون الرياضي الذي يحسب عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة فرعية من عناصر محددة (قانون الاحتمالات في التجميع)، والذي يُعطينا الإجابة النهائية لعدد التشكيلات الممكنة لفريق الغرونترز.