ضرب المعاملات المطلقة للأعداد المركبة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
$|3-2i| \cdot |3+2i|$

الحل:
نستخدم قاعدة حساب قيمة المعاملة المطلقة للعدد المركب $a+bi$ والتي تعطى بالصيغة:
$|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

لحساب قيمة المعاملة المطلقة للعدد $3-2i$ نقوم بتعويض قيم $a = 3$ و $b = -2$ في الصيغة:
$|3-2i| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

بنفس الطريقة، نحسب قيمة المعاملة المطلقة للعدد $3+2i$ باستخدام قيم $a = 3$ و $b = 2$:
$|3+2i| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

الآن، نقوم بضرب قيمتي المعاملتين المطلقتين معًا:
$|3-2i| \cdot |3+2i| = \sqrt{13} \cdot \sqrt{13}$

ونعلم أن:
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

إذاً:
$\sqrt{13} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{13 \cdot 13} = \sqrt{169}$

ونعلم أن $\sqrt{169} = 13$، لذا الناتج النهائي هو:
$|3-2i| \cdot |3+2i| = 13$

بالطبع، دعونا نستكشف تفاصيل أكثر حول حل المسألة والقوانين المستخدمة.

المسألة تتعلق بحساب قيمة المعاملة المطلقة لعددين مركبين $3-2i$ و $3+2i$، ومن ثم حاصل ضرب تلك القيم. لحل هذه المسألة، نقوم بتطبيق القوانين التالية:

1. قاعدة حساب المعاملة المطلقة للعدد المركب:
   $|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$
   هذه القاعدة تستخدم لحساب المعاملة المطلقة للعدد المركب $a+bi$ حيث $a$ و $b$ هما الأجزاء الحقيقية والتخيلية للعدد.

2. خاصية ضرب الجذور:
   $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
   يُستخدم هذا القانون لتبسيط العبارة وتسهيل عملية الضرب.

تفاصيل الحل:

• نقوم بحساب قيمة المعاملة المطلقة للعدد $3-2i$ باستخدام القاعدة الأولى:
  $|3-2i| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$

• نقوم بحساب قيمة المعاملة المطلقة للعدد $3+2i$ بنفس الطريقة:
  $|3+2i| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$

• نقوم بضرب القيمتين المطلقتين معًا:
  $|3-2i| \cdot |3+2i| = \sqrt{13} \cdot \sqrt{13}$

• باستخدام قاعدة ضرب الجذور، نبسط العبارة إلى:
  $\sqrt{13 \cdot 13} = \sqrt{169}$

• ونعلم أن جذر 169 يساوي 13، لذا الناتج النهائي هو:
  $|3-2i| \cdot |3+2i| = 13$

باستخدام هذه القوانين والتفاصيل السابقة، يمكننا حساب قيم المعاملات المطلقة والضرب بشكل دقيق وفعّال.