زيادة مساحة سطح المكعب: حساب التغيير النسبي (مسألة رياضيات)

عند زيادة كل حافة من مكعب بنسبة 50٪، بنسبة كم تزيد مساحة سطح المكعب؟

حل المسألة:
لنفترض أن الحافة الأصلية للمكعب تساوي $x$ والمساحة السطحية الأصلية $A_1$.

المساحة السطحية للمكعب الأصلي تُحسب بالصيغة:
$A_1 = 6x^2$

عندما نزيد كل حافة بنسبة 50٪، فإن الحافة الجديدة تساوي $1.5x$، لذا المساحة السطحية الجديدة $A_2$ تُحسب بالصيغة:
$A_2 = 6(1.5x)^2$

لنقم بحساب $A_2$:
$A_2 = 6(2.25x^2) = 13.5x^2$

الآن، لنحسب الزيادة في المساحة السطحية $\Delta A$:
$\Delta A = A_2 – A_1 = 13.5x^2 – 6x^2 = 7.5x^2$

الزيادة النسبية في المساحة السطحية $\% \Delta A$ تُحسب بالصيغة:
$\% \Delta A = \frac{\Delta A}{A_1} \times 100 \%$

وباستخدام القيم المحسوبة سابقًا:
$\% \Delta A = \frac{7.5x^2}{6x^2} \times 100 \% = \frac{5}{4} \times 100 \% = 125 \%$

إذًا، تزيد مساحة سطح المكعب بنسبة 125٪ عندما تزيد كل حافة بنسبة 50٪.

في هذه المسألة، نحن نتعامل مع تغيير في الأبعاد الهندسية للمكعب وتأثير ذلك على مساحة سطحه. لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الهندسية الأساسية:

1. مساحة سطح المكعب:
   مساحة سطح المكعب هي مجموع مساحات جميع الوجوه الستة. إذا كانت طول الحافة $s$، فإن مساحة سطح المكعب تُحسب بالصيغة: $6s^2$.

2. تأثير تغيير الأبعاد:
   عند زيادة كل حافة بنسبة معينة، فإن ذلك يؤدي إلى زيادة مساحة سطح المكعب بنسبة مختلفة.

3. تطبيق نسبة الزيادة:
   يُستخدم حساب النسبة المئوية للتغيير في المساحة السطحية لتحديد كمية التغيير.

الآن دعنا نحسب الحل بمزيد من التفاصيل:

لنفترض أن الحافة الأصلية للمكعب تساوي $s$ ومساحة سطحه الأصلية $A_1$.

بما أننا نزيد كل حافة بنسبة 50٪، فإن الحافة الجديدة تصبح $1.5s$.

مساحة سطح المكعب الجديدة $A_2$ تُحسب بالصيغة: $6(1.5s)^2$.

بعد التبسيط، نحصل على $A_2 = 13.5s^2$.

الزيادة في مساحة سطح المكعب $\Delta A$ تكون:
$\Delta A = A_2 – A_1 = 13.5s^2 – 6s^2 = 7.5s^2$.

لحساب الزيادة النسبية في المساحة السطحية $\% \Delta A$:
$\% \Delta A = \frac{\Delta A}{A_1} \times 100 \%$.

باستخدام القيم المحسوبة سابقًا، نحصل على:
$\% \Delta A = \frac{7.5s^2}{6s^2} \times 100 \% = \frac{5}{4} \times 100 \% = 125 \%$.

وبالتالي، تزيد مساحة سطح المكعب بنسبة 125٪ عندما تزيد كل حافة بنسبة 50٪.

هذه القوانين والمفاهيم الأساسية في الهندسة والرياضيات تُستخدم لحل مسائل مختلفة تتعلق بتغيير الأبعاد والمساحات والحجوم.