دوال رياضية: خاصية التحويل (مسألة رياضيات)

الدالة $f(x)$ ترضي الشرط التالي:
$f(xy) = xf(y)$
لجميع الأعداد الحقيقية $x$ و $y$.
إذا كان $f(1) = 25$، فما قيمة $f(79)$؟

حل المسألة:

لنقم بتطبيق الشرط المعطى على الدالة $f(x)$ عن طريق استخدام قيمة $x = 1$ و $y = 79$، لنحصل على:
$f(1 \times 79) = 1 \times f(79)$
$f(79) = 1 \times f(79)$

نعلم أن $f(1) = 25$، لذا يمكننا استخدام هذا المعلومة في المعادلة التي حصلنا عليها:
$f(79) = 1 \times f(79) = 1 \times 25 = 25$

لذا، قيمة $f(79)$ هي 25.

لحل المسألة وتفسيرها بشكل أكثر تفصيلًا، دعنا نبدأ بتوضيح القانون الذي ينطبق على الدالة $f(x)$:

الشرط المعطى هو:
$f(xy) = xf(y)$

هذا الشرط يقول إن قيمة الدالة عندما نضرب الدخولين $x$ و $y$ هي ناتج ضرب $x$ في قيمة الدالة عند $y$.

الآن، لحساب $f(79)$، نستخدم القيم المعطاة في الشرط المعطى. نضع $x = 1$ و $y = 79$ في المعادلة:
$f(1 \times 79) = 1 \times f(79)$

الآن، نستخدم المعطى $f(1) = 25$ لتبسيط المعادلة إلى:
$f(79) = 1 \times f(79) = 1 \times 25 = 25$

القانون المستخدم في هذا الحل هو خاصية الدالة المعطاة. وهذا يعني أنه فيما يخص دالة $f(x)$، فإن قيمة الدالة عند ضرب اثنين من الأرقام هي ضرب أحدهما في قيمة الدالة عند الآخر.

هذا النوع من القوانين شائع في الرياضيات ويسمى “خاصية التحويل” أو “خاصية الاستدعاء” وهو مفتاح في فهم تصرفات الدوال في الرياضيات.