خطوط متعامدة: حساب نقطة القطع (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتعلق بخط مستقيم يكون متعامدًا على خط محدد ويمر عبر نقطة محددة.

لنبدأ بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

“ما هي نقطة قطع المحور الأفقي (x-intercept) للخط المتعامد على الخط المحدد بالمعادلة $3x – 2y = 6$ والذي يمر عبر نقطة على المحور الرأسي (y-intercept) له تكون قيمة y فيها تساوي 2؟”

الآن، دعنا نقوم بحساب الإجابة. لنبدأ بحل المعادلة $3x – 2y = 6$ للعثور على ميل الخط المحدد:

$3x – 2y = 6$

ثم نقوم بترتيبها للحصول على ميل الخط:

$2y = 3x – 6$

$y = \frac{3}{2}x – 3$

الميل هو $\frac{3}{2}$.

للعثور على الميل السالب للخط المتعامد، نقوم بتطبيق العكس التوازي للميل ونجد أن الميل الجديد يكون $-\frac{2}{3}$.

الآن، نعرف أن الميل الجديد هو $-\frac{2}{3}$، ونعرف أيضًا أنه يمر عبر نقطة على المحور الرأسي حيث $y = 2$.

لحساب نقطة القطع مع المحور الأفقي، نستخدم المعادلة العامة للخط:

$y – y_1 = m(x – x_1)$

حيث $m$ هو الميل، و$(x_1, y_1)$ هي النقطة على المحور الرأسي.

باستخدام $m = -\frac{2}{3}$ و$y_1 = 2$، نحصل على:

$y – 2 = -\frac{2}{3}(x – 0)$

نقوم بتوسيع الصيغة:

$y – 2 = -\frac{2}{3}x$

ثم نضيف 2 للطرفين:

$y = -\frac{2}{3}x + 2$

الآن نعرف أن معادلة الخط المتعامد هي $y = -\frac{2}{3}x + 2$، ونريد حساب نقطة القطع مع المحور الأفقي وهي عندما $y = 0$:

$0 = -\frac{2}{3}x + 2$

نضيف $\frac{2}{3}x$ للطرفين:

$\frac{2}{3}x = 2$

نضرب في $\frac{3}{2}$ لتخلص من المقام:

$x = 3$

إذاً، نقطة القطع مع المحور الأفقي هي $(3, 0)$.

بالتأكيد، دعنا نقم بحل المسألة بمزيد من التفاصيل، مستخدمين القوانين والمفاهيم الرياضية المناسبة.

المسألة تتعلق بالبحث عن نقطة القطع مع المحور الأفقي (x-intercept) لخط متعامد على خط محدد. لحل هذه المسألة، سنستخدم المفهوم الأساسي للخطوط المتعامدة، حيث يكون مضاعف الميلين معكوسين ومتعامدين بالتالي:

$m_1 \cdot m_2 = -1$

حيث $m_1$ هو ميل الخط المعطى ($\frac{3}{2}$) و $m_2$ هو ميل الخط المتعامد الذي نبحث عنه.

بما أن $m_1 \cdot m_2 = -1$، نستنتج أن $m_2 = -\frac{2}{3}$.

الآن، نحن بحاجة إلى العثور على المعادلة العامة للخط المتعامد. نعلم أنه يمر عبر نقطة على المحور الرأسي حيث $y = 2$. لاستخدام معادلة الخط العامة ($y – y_1 = m(x – x_1)$), نعوض قيم $m$ و $y_1$ بالقيم المناسبة:

$y – 2 = -\frac{2}{3}(x – 0)$

نقوم بتوسيع الصيغة:

$y – 2 = -\frac{2}{3}x$

نضيف 2 للطرفين:

$y = -\frac{2}{3}x + 2$

الآن، نحن جاهزون لحساب نقطة القطع مع المحور الأفقي. نعلم أنها تحدث عندما $y = 0$. لذا:

$0 = -\frac{2}{3}x + 2$

نقوم بحساب قيمة $x$:

$\frac{2}{3}x = 2$

نضرب في $\frac{3}{2}$ لتخلص من المقام:

$x = 3$

إذًا، نقطة القطع مع المحور الأفقي هي $(3, 0)$.

القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل:

1. ميل الخط: ميل الخط يمثل التغيير في القيمة الرأسية (y) مقابل التغيير في القيمة المستقلة (x).
2. الخطوط المتعامدة: الميلين لخطين متعامدين هما مضاعفان معكوسين.
3. معادلة الخط العامة: $y – y_1 = m(x – x_1)$ تستخدم لحساب معادلة الخط عندما يكون معروفًا الميل ونقطة على الخط.
4. نقطة القطع مع المحور الأفقي: يحدث عندما يكون $y = 0$، ويتم حسابها بوضع قيمة $y$ بالصفر في معادلة الخط.