حلاً لمعادلة رياضية من الدرجة الثانية (مسألة رياضيات)

المعادلة المعطاة هي: $\sqrt{x} + \sqrt{x+2} = X$

إذاً، إذا كنا نعلم أن الجواب لهذه المسألة هو $\frac{2401}{100}$، يمكننا حساب قيمة المتغير المجهول X على النحو التالي:

$\sqrt{x} + \sqrt{x+2} = \frac{2401}{100}$

لنقم بحساب القيمة الفعلية للمتغير X:

1. نقوم برفع الجهة اليسرى إلى الأس الثاني للقوة للقضاء على الجذرين:
   $(\sqrt{x} + \sqrt{x+2})^2 = \left(\frac{2401}{100}\right)^2$

2. نقوم بتوسيع الفرق وتبسيط الأعداد:
   $x + 2\sqrt{x(x+2)} + (x+2) = \frac{2401^2}{100^2}$

3. نقل الأعداد إلى جهة واحدة من المعادلة:
   $2\sqrt{x(x+2)} = \frac{2401^2}{100^2} – x – (x+2)$

4. نقوم بتبسيط الجهة اليمنى:
   $2\sqrt{x(x+2)} = \frac{2401^2 – 100^2x – 100^2(x+2)}{100^2}$

5. نقوم بتجزئة الرقم 2401 إلى عاملين:
   $2\sqrt{x(x+2)} = \frac{(2401 + 100x + 100(x+2))(2401 – 100x – 100(x+2))}{100^2}$

6. نواصل التبسيط:
   $2\sqrt{x(x+2)} = \frac{(2401 + 100x + 100x + 200)(2401 – 100x – 100x – 200)}{100^2}$

7. نقوم بضرب العاملين في الجهة اليمنى:
   $2\sqrt{x(x+2)} = \frac{(2401 + 200x)(2401 – 200x)}{100^2}$

8. نستخدم الخاصية التوزيعية للتخلص من الأقواس:
   $2\sqrt{x(x+2)} = \frac{2401^2 – (200x)^2}{100^2}$

9. نقوم بتبسيط القسمة:
   $2\sqrt{x(x+2)} = \frac{2401^2 – 200^2x^2}{100^2}$

10. نقوم بحساب الجذر التربيعي للجهة اليسرى:
    $\sqrt{x(x+2)} = \frac{2401^2 – 200^2x^2}{2 \times 100^2}$

11. نقوم بتجذير الجهة اليمنى:
    $x(x+2) = \frac{2401^2 – 200^2x^2}{2 \times 100^2}$

12. نقوم بضرب الطرفين في 2 \times 100^2 للتخلص من المقام في الجهة اليمنى:
    $2 \times 100^2 x(x+2) = 2401^2 – 200^2x^2$

13. نقوم بتوحيد المعادلة:
    $200x(x+2) = 2401^2 – 200^2x^2$

14. نقوم بتوزيع العوامل:
    $200x^2 + 400x = 2401^2 – 200^2x^2$

15. نقوم بجمع الأعضاء المتشابهة:
    $200x^2 + 400x + 200x^2 = 2401^2$

16. نقوم بتوحيد الأعضاء:
    $400x^2 + 400x = 2401^2$

17. نقوم بضرب الجهة اليمنى في 25:
    $10000x^2 + 10000x = 2401^2 \times 25$

18. نقوم بتوحيد الأعضاء وترتيبها في صورة معادلة من الدرجة الثانية:
    $10000x^2 + 10000x – 2401^2 \times 25 = 0$

19. نقوم بحل المعادلة باستخدام الصيغة التربيعية:
    $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 10000$, $b = 10000$, و $c = -2401^2 \times 25$

20. نستخدم القيم في الصيغة:
    $x = \frac{-10000 \pm \sqrt{10000^2 – 4 \times 10000 \times (-2401^2 \times 25)}}{2 \times 10000}$

21. نقوم بحساب القيم:
    $x = \frac{-10000 \pm \sqrt{10000^2 + 4 \times 10000 \times 2401^2 \times 25}}{2 \times 10000}$

22. نواصل التبسيط:
    $x = \frac{-10000 \pm \sqrt{10000^2 + 4 \times 10000 \times 2401^2 \times 25}}{20000}$

23. نستمر في حساب القيم:
    $x = \frac{-10000 \pm \sqrt{10000^2 + 4 \times 10000 \times 2401^2 \times 25}}{20000}$

24. نقوم بتقليص الكسر:

لحل المسألة الرياضية المعطاة، دعنا نواصل الخطوات للعثور على قيمة المتغير المجهول $X$.

في الخطوة 19، قمنا بتحويل المعادلة الأصلية إلى معادلة من الدرجة الثانية باستخدام القاعدة التي تقول إذا كانت لدينا معادلة بشكل $ax^2 + bx + c = 0$، فإن حلاً لها يمكن العثور عليه باستخدام الصيغة التربيعية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a$, $b$, و $c$ هي معاملات المعادلة.

في هذه المسألة، وبعد توحيد الأعضاء، أصبحت المعادلة كالتالي:

$10000x^2 + 10000x – 2401^2 \times 25 = 0$

لذا، نستخدم الصيغة التربيعية للعثور على قيمة $x$.

في الخطوة 20، قمنا بتعيين قيم $a$, $b$, و $c$ واستخدامها في الصيغة:

$x = \frac{-10000 \pm \sqrt{10000^2 + 4 \times 10000 \times 2401^2 \times 25}}{20000}$

تم استخدام القوانين التالية في الحل:

1. قانون التعويض: حيث استخدمنا قانون التعويض لتعويض القيم المعروفة في المعادلة الأصلية.

2. التبسيط الجبري: قمنا بتبسيط العبارات والتعبيرات الجبرية في كل خطوة لتسهيل الحسابات.

3. صيغة التربيع الجذري: تم استخدام الصيغة لحساب قيمة $x$ في المعادلة الثانوية.

4. الضرب والقوى: تم استخدام قوانين الضرب والقوى في تبسيط العبارات والتعبيرات.

5. التوحيد والترتيب الجبري: قمنا بتوحيد الأعضاء المتشابهة وترتيب المعادلة للوصول إلى صيغة مناسبة للحسابات.

يجب أن نكمل الحل باستخدام آلة حاسبة أو الحساب اليدوي للحصول على القيم العددية الدقيقة لـ $x$، وذلك لتحديد قيمته بناءً على الإجراءات الحسابية السابقة.