حلاً لمعادلة رياضية: تحقيق أقصى قيمة (مسألة رياضيات)

إذا كانت المعادلة $7 = x^2 + \frac{1}{x^2}$ صحيحة، فما هو أكبر قيمة ممكنة للتعبير $x + \frac{1}{x}$؟

لحل هذه المسألة، دعونا نقوم بتحويل المعادلة المعطاة بحيث نتمكن من فهمها بشكل أفضل والعمل على إيجاد القيمة القصوى. بدايةً، لنقم بضرب كل جانب من المعادلة في $x$ لتجنب وجود المقام في المعادلة:

$7x = x^3 + 1$

ثم قم بتجميع الأعضاء المماثلة:

$x^3 – 7x + 1 = 0$

الآن، نحن بحاجة إلى حل هذه المعادلة الكубية. يمكننا استخدام مفهوم الجذور لحساب قيمة $x$ المرغوبة. للتبسيط، فلنقم بتعريف متغير آخر مثل $y = x + \frac{1}{x}$، ثم نقوم بفك المعادلة:

$x^3 – 7x + 1 = 0$

باستخدام طريقة حل المعادلات الكوبية، يمكننا إيجاد قيمة $x$ بصورة عامة. إلا أن، من أجل التبسيط، دعونا نستعرض الناتج بشكل مبسط:

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

الآن، يمكننا حساب قيمة $y$ باستخدام التعريف الذي قمنا بتحديده:

$y = x + \frac{1}{x}$

ومن ثم نستخدم القيمة التي حسبناها لـ $x$:

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{2}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2}}}$

بعد الحسابات، سنحصل على القيمة النهائية لـ $y$، وهي الإجابة على المسألة.

بالطبع، دعونا نوسع في تفاصيل حل المسألة ونشرح القوانين المستخدمة.

المسألة المعطاة هي:

$7 = x^2 + \frac{1}{x^2}$

لنبدأ بتجميع المعادلة وتحويلها:

$x^2 – 7 + \frac{1}{x^2} = 0$

هذه معادلة من الدرجة الرابعة، ولكن يمكننا تبسيطها عن طريق ضرب كل جانب في $x^2$ للتخلص من المقام:

$x^4 – 7x^2 + 1 = 0$

الآن، لنقم بتعريف متغير جديد، فلنضع $y = x + \frac{1}{x}$. يمكننا تعبير $y^2$ عند استخدام هذا التعريف:

$y^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2$

في حين أننا نعلم $x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$، يمكننا تعويض هذه القيمة في التعبير:

$y^2 = (7 + 2) = 49$

الآن، نحن نبحث عن القيمة المطلوبة $y = x + \frac{1}{x}$. لدينا معادلة تربعية لـ $y$:

$y^2 – 49 = 0$

يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على القيم الممكنة لـ $y$. باستخدام الجذور المربعة:

$y = \pm 7$

ومن المعلوم أن القيمة السالبة لا تعتبر هنا، لأن $y$ يتمثل في $x + \frac{1}{x}$ وهو مستمر ولا يمكن أن يكون سالبًا. لذلك، نأخذ $y = 7$ كقيمة نهائية.

قوانين ومفاهيم استخدمت في الحل:

1. ضرب المعادلة بـ $x^2$: للتخلص من المقام وتبسيط المعادلة.
2. تعريف $y$: لتسهيل التعبير والعمل في المعادلة.
3. التعبير عن $y^2$: باستخدام التعريف الذي قمنا به.
4. حل المعادلة التربعية $y^2 – 49 = 0$: للعثور على القيم الممكنة لـ $y$.
5. استبعاد القيمة السالبة: لأن $y$ يتمثل في $x + \frac{1}{x}$ ولا يمكن أن يكون سالبًا.

باستخدام هذه القوانين، تم حل المسألة والوصول إلى قيمة $y$ المطلوبة.