حلاً لمعادلة رباعية: تحليل وحسابات

إذا كان $x^2 – 4x = 5$، فإن قيمة واحدة ممكنة لـ $x – 2$ تكون:

$(x – 2) = \sqrt{5} + 2$ أو $(x – 2) = -(\sqrt{5} + 2)$

لنحسب القيمة الأولى:
$(x – 2) = \sqrt{5} + 2$
نضيف 2 إلى الطرفين:
$x = \sqrt{5} + 4$

والقيمة الثانية:
$(x – 2) = -(\sqrt{5} + 2)$
نقوم بضرب الطرفين في -1:
$x – 2 = -\sqrt{5} – 2$
نضيف 2 إلى الطرفين:
$x = -\sqrt{5}$

إذاً، القيمتان الممكنتان لـ $x – 2$ هي:
$x = \sqrt{5} + 4$ أو $x = -\sqrt{5}$

لحل المعادلة $x^2 – 4x = 5$ وايجاد قيم $x$ الممكنة، يمكننا اتباع الخطوات التالية:

1. تجميع المصطلحات:
   قم بتجميع المصطلحات المتشابهة على جانب واحد للمعادلة. في هذه الحالة، سنقوم بجمع كل المصطلحات على الجهة اليسرى ونترك الجهة اليمنى تكون صفر.

   المعادلة: $x^2 – 4x – 5 = 0$

2. استخدام الصيغة العامة لحلا المعادلة الرباعية:
   نستخدم الصيغة العامة لحلا المعادلة الرباعية ($ax^2 + bx + c = 0$) حيث:
   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

   في هذه الحالة:
   $a = 1, \quad b = -4, \quad c = -5$

   قم بحساب القيم باستخدام الصيغة.

3. الحساب:
   قم بحساب قيم $x$ باستخدام الصيغة العامة. يمكن أن يكون لديك قيمتين ناتجتين عن الجذر التربيعي، وهذه تكون القيمتين الممكنتين لـ $x$.

   الجذر التربيعي الإيجابي:
   $x_1 = \frac{4 + \sqrt{(-4)^2 – 4(1)(-5)}}{2(1)}$

   الجذر التربيعي السلبي:
   $x_2 = \frac{4 – \sqrt{(-4)^2 – 4(1)(-5)}}{2(1)}$

   قم بحساب القيم العددية للجذرين.

4. تحليل النتائج:
   بمجرد حساب القيم، قد تحصل على قيم حقيقية أو متخيلة. في هذه الحالة، إذا كنت تتعامل مع جذور حقيقية، فهذه هي القيم الممكنة لـ $x$ في المعادلة الأصلية.

   في حالة وجود جذور متخيلة، يعني ذلك أن ليس لدينا حلا حقيقياً في الأعداد الحقيقية.

5. الرد على السؤال الأصلي:
   بناءً على المعادلة $x^2 – 4x = 5$، سأقوم بحساب قيم $x$ وبعد ذلك سأستخدم هذه القيم في المعادلة $x – 2$ للعثور على القيم الممكنة لـ $x – 2$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة تجميع المصطلحات:
   عند تجميع المصطلحات المتشابهة على الجانب الأيسر من المعادلة.

2. صيغة الحلا الرباعي:
   استخدام الصيغة العامة لحلا المعادلة الرباعية للعثور على القيم الممكنة لـ $x$.

3. تحليل النتائج:
   فهم النتائج وتحديد ما إذا كانت القيم حقيقية أو متخيلة وكيفية استخدامها في المعادلة الأصلية.

الحل:
بعد الحسابات، نجد أن القيم الممكنة لـ $x$ هي:
$x = \sqrt{5} + 4 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{5}$

الآن، سنستخدم هذه القيم في المعادلة $x – 2$ للعثور على القيم الممكنة لـ $x – 2$.

للقيمة الأولى ($x = \sqrt{5} + 4$):
$(\sqrt{5} + 4) – 2 = \sqrt{5} + 2$

للقيمة الثانية ($x = -\sqrt{5}$):
$-\sqrt{5} – 2$

إذا، القيم الممكنة لـ $x – 2$ هي:
$\sqrt{5} + 2 \quad \text{أو} \quad -\sqrt{5} – 2$