حلاً لمعادلة درجة ثالثة: جذور ومجموعها (مسألة رياضيات)

المعادلة الرياضية المعطاة هي: $4x^3 + 5x^2 – 8x = 0$

لحساب مجموع الجذور، يمكننا أولاً أن نقوم بتحليل المعادلة. يبدأ الحل بتحويل المعادلة إلى صورة أكثر تنظيفًا:

$4x(x^2 + 5x – 2) = 0$

الآن، لنجد الجذور، نستخدم قاعدة أن إذا كانت المضاعفة تساوي صفرًا، فإن إحدى العوامل يجب أن تكون تساوي صفرًا. لذا، لدينا:

$4x = 0 \quad \text{أو} \quad (x^2 + 5x – 2) = 0$

في الحالة الأولى، يكون $x = 0$. أما في الحالة الثانية، فلنحسب جذور المعادلة الثانية:

$x^2 + 5x – 2 = 0$

استخدم الصيغة العامة لحساب الجذور:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = 5$، و $c = -2$. بعد الحسابات، نجد جذرين للمعادلة الثانية:

$x_1 \approx 0.438$

$x_2 \approx -5.438$

الآن، لحساب مجموع الجذور، نجمع القيم الثلاثة:

$0 + 0.438 + (-5.438) \approx -5$

إذاً، مجموع الجذور هو تقريبًا $-5$.

لحل المعادلة $4x^3 + 5x^2 – 8x = 0$، سنتبع الخطوات التالية:

1. تحليل المعادلة:
   نبدأ بتحليل المعادلة لتبسيطها أكثر، وذلك بتحويلها إلى صورة أكثر تنظيفًا. نقوم بعاملة $4x$ للحصول على:

   $4x(x^2 + 5x – 2) = 0$

   الآن لدينا ثلاث عوامل: $4x = 0$ أو $x^2 + 5x – 2 = 0$.

2. حساب الجذور:

   • للحالة الأولى ($4x = 0$):
     نحصل على جذر وحيد وهو $x = 0$.

   • للحالة الثانية ($x^2 + 5x – 2 = 0$):
     يمكننا حساب الجذور باستخدام الصيغة العامة للجذر التربيعي:

     $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

     حيث $a = 1$، $b = 5$، و $c = -2$. بعد الحسابات، نحصل على جذرين:
     $x_1 \approx 0.438$
     $x_2 \approx -5.438$

3. حساب مجموع الجذور:
   الآن نقوم بجمع الجذور الثلاثة:
   $0 + 0.438 + (-5.438) \approx -5$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة العوامل:
   إذا كانت المضاعفة تساوي صفرًا، فإن إحدى العوامل يجب أن تكون تساوي صفرًا. هذه القاعدة أساسية لفحص الحالات الممكنة.

2. صيغة الجذر التربيعي:
   في حالة وجود معادلة من الدرجة الثانية ($ax^2 + bx + c = 0$)، يمكننا حساب الجذور باستخدام صيغة الجذر التربيعي كما ذُكر أعلاه.

هذه القوانين تساعد في تبسيط المسألة وفهمها بشكل أعمق، مما يتيح لنا الوصول إلى الإجابة بدقة.