حلاً لمعادلة تربيعية معقدة بجذور مختلفة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تطلب إيجاد المعادلة التربيعية ذات الجذر $3 + i$ وحيث أن معامل $x^2$ يساوي 2. لنقم بحساب هذه المعادلة.

لنكن المعادلة التربيعية على شكل $ax^2 + bx + c = 0$ حيث $a$ هو معامل $x^2$، $b$ هو معامل $x$، و $c$ هو الثابت.

الجذر $3 + i$ يعني أن العامل $(x – (3 + i))$ يكون عاملًا للمعادلة. لأنه إذا قمنا بضرب هذا العامل في نفسه، سنحصل على صفر.

لنبدأ بتوسيع هذا العامل:

$(x – (3 + i))(x – (3 – i))$

قم بضرب العوامل باستخدام قاعدة الضرب للمتغيرين مع معلومة أن $i^2 = -1$:

$(x – 3 – i)(x – 3 + i)$

$(x – 3)^2 – (i)^2$

$(x – 3)^2 + 1$

الآن نحن بحاجة لضرب هذا العامل في العامل الآخر وضرب الناتج في المعامل المطلوبة:

$a(x – 3 + i)(x – 3 – i) = a((x – 3)^2 + 1)$

الآن نحن نعلم أن $a$ هو معامل $x^2$ ويساوي 2، لذلك يمكننا الكتابة:

$2((x – 3)^2 + 1)$

الآن قم بتوسيع هذا التعبير:

$2(x^2 – 6x + 9 + 1)$

$2x^2 – 12x + 20$

إذاً، المعادلة التربيعية التي تحقق الشروط المطلوبة هي:

$2x^2 – 12x + 20 = 0$

بالطبع، دعونا نقوم بتوسيع التفاصيل وذلك باستخدام القوانين الرياضية المناسبة في حل المسألة.

المعادلة التربيعية التي نحاول العثور عليها هي $2x^2 – 12x + 20 = 0$. لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام القاعدة الشهيرة المعروفة بالصيغة العامة للمعادلة التربيعية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a$، $b$، و $c$ هم معاملات المعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c = 0$. في حالتنا، لدينا $a = 2$، $b = -12$، و $c = 20$.

لنقم بحساب قيمة التمام (الجذر التربيعي) الخاصة بالتعبير تحت الجذر:

$b^2 – 4ac = (-12)^2 – 4(2)(20) = 144 – 160 = -16$

نجد أن قيمة التمام سالبة. هذا يعني أن المعادلة ليست لها جذور حقيقية، بل لديها جذرين مختلفين تكون عبارة عن أعداد مركبة.

للتعبير عن الجذور، نستخدم الجذر التربيعي للعدد المعقد $-16$:

$\sqrt{-16} = \sqrt{16} \times i = 4i$

إذاً، التعبير الكامل للجذور هو $2 \pm 2i$. بالتالي، الحلول للمعادلة التربيعية هي:

$x = \frac{12 + 4i}{4} = 3 + i$

$x = \frac{12 – 4i}{4} = 3 – i$

القوانين المستخدمة في الحل هي قاعدة حساب الجذور للأعداد المعقدة وصيغة حل المعادلة التربيعية.