حلاً لمعادلة الجبر الكثيرية

نعتبر المعادلة التالية: $(5 + k) \cdot (5 – k) = 5^2 – 2^3$، ونريد حساب قيمة $k$.

بفتح القوسين وتوسيع الجهة اليسرى:

$(5 + k) \cdot (5 – k) = 5^2 – 2^3$

$(5 + k) \cdot (5 – k) = 25 – 8$

الآن نقوم بضرب الطرف الأيمن:

$25 – k^2 = 17$

نطرح 17 من الجهتين:

$-k^2 = -8$

نقوم بضرب الجهتين في -1 لتسهيل الحسابات:

$k^2 = 8$

ثم نستخرج الجذر التربيعي للجهة اليمنى:

$k = \sqrt{8}$

يمكن تبسيط الجذر على الشكل التالي:

$k = \sqrt{4 \cdot 2}$

$k = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}$

$k = 2 \cdot \sqrt{2}$

لذلك، قيمة $k$ هي $2 \cdot \sqrt{2}$.

لحل هذه المسألة الرياضية، سنقوم بتوسيع المعادلة وتبسيطها باستخدام القوانين الجبرية. الهدف هو العثور على قيمة $k$ التي تحقق المعادلة المعطاة.

المعادلة الأصلية:
$(5 + k) \cdot (5 – k) = 5^2 – 2^3$

لنبدأ بتوسيع الجهة اليسرى:

$(5 + k) \cdot (5 – k) = 25 – 8$

التوسيع يعتمد على قاعدة الضرب في الجبر:
$(a + b) \cdot (c – d) = ac – ad + bc – bd$

في هذه الحالة:
$(5 + k) \cdot (5 – k) = 25 – 5k + 5k – k^2$

الآن نقوم بتبسيط الجهة اليسرى:
$25 – k^2 = 17$

نقوم بترتيب الأعضاء وتبسيط المعادلة:
$-k^2 = -8$

نضرب الجهتين في -1 لتبسيط الحسابات:
$k^2 = 8$

الآن نستخدم قاعدة استخراج الجذر في الجبر:
$k = \sqrt{8}$

يمكننا كتابة 8 على شكل 4 * 2:
$k = \sqrt{4 \cdot 2}$

ونستمر في تبسيط:
$k = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}$

$k = 2 \cdot \sqrt{2}$

لذلك، تم حساب قيمة $k$ وهي $2 \cdot \sqrt{2}$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الضرب في الجبر: $(a + b) \cdot (c – d) = ac – ad + bc – bd$
2. تبسيط المعادلات: ترتيب الأعضاء وجمع أو طرح المصطلحات المتشابهة.
3. استخراج الجذر في الجبر: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

تم استخدام هذه القوانين لتبسيط المعادلة والوصول إلى قيمة $k$.