حلاً لمعادلات الرياضيات: قاعدة التربيع وتطبيقها (مسألة رياضيات)

إذا كانت $(x + y)^2 = 1$ و $xy = -4$، فما هو قيمة $(x^2 + y^2)$؟

لحل هذه المسألة، دعنا نقوم بتطوير تعبير $(x + y)^2$ باستخدام القاعدة الجبرية “تربيع مجموع اثنين من الأعداد”. نحن نحصل على:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

الآن نستخدم القيم المعطاة في المعادلات الأصلية، حيث أن $(x + y)^2 = 1$ و $xy = -4$. نقوم بتعويض هذه القيم في التعبير السابق:

$1 = x^2 + 2(-4) + y^2$

الآن نبسط التعبير:

$x^2 + y^2 = 1 + 8$

وبالتالي:

$x^2 + y^2 = 9$

إذاً، قيمة $(x^2 + y^2)$ هي 9.

بالطبع، سنقوم بتوضيح الخطوات بتفصيل أكبر في حل المسألة وسنشرح القوانين والتقنيات الجبرية التي تم استخدامها.

المسألة تبدأ بتعبير $(x + y)^2$، وهو مربع مجموع $x$ و$y$. لتوسيع هذا التعبير، نستخدم القاعدة الجبرية “تربيع مجموع اثنين من الأعداد”، والتي تقول أن:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

الآن، نستخدم القيم المعطاة في المسألة. نعلم أن $(x + y)^2 = 1$ و $xy = -4$. لذا، نقوم بتعويض هذه القيم في التعبير السابق:

$1 = x^2 + 2(-4) + y^2$

المرحلة التالية هي تبسيط التعبير، ونحصل على:

$x^2 + y^2 = 1 + 8$

وبالتالي:

$x^2 + y^2 = 9$

لدينا الآن القيمة النهائية للتعبير $(x^2 + y^2)$.

القوانين والتقنيات المستخدمة:

1. تربيع مجموع اثنين من الأعداد: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. استخدام القيم المعطاة في المعادلات: تعويض القيم المعروفة في المعادلات للوصول إلى التعابير المطلوبة.
3. تبسيط التعابير: جمع أو ضرب الأعداد للتوصل إلى تعبير نهائي.

بهذه الطريقة، نستنتج أن قيمة $(x^2 + y^2)$ تساوي 9.